##  [Projection Stéréographique](/fr/node/61797) 

 Définition

Application conforme qui envoie les points d'une sphère moins un pôle distingué vers les points d'un plan en projetant selon les droites passant par le pôle ; elle établit une bijection entre la sphère percée et le plan.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

On projette depuis un pôle choisi : chaque point de la sphère (à l'exception du pôle) est sur une droite unique passant par le pôle qui rencontre le plan en un seul point ; la projection stéréographique préserve les angles (conforme) et envoie les cercles n'incluant pas le pôle sur des cercles du plan.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour la sphère unité de R^3 avec pôle nord N=(0,0,1), projeter depuis N sur le plan z=0 envoie (x,y,z) (z≠1) sur (x/(1-z), y/(1-z)). En analyse complexe cela identifie la sphère de Riemann au plan complexe étendu en associant à un point sa coordonnée complexe.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que la projection stéréographique conserve les aires ou les longueurs (ce n'est pas le cas), ou l'utiliser sans traiter le pôle (qui correspond à l'infini) conduit à des erreurs ; la prendre pour une isométrie est incorrect.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une paramétrisation conforme de la sphère par le plan, transforme des problèmes sphériques en problèmes planaires et compactifie le plan par un point à l'infini correspondant au pôle omis.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Elle possède une inverse bien définie qui relève un point du plan sur la sphère ; le pôle correspond au point à l'infini du plan. L'inverse récupère les coordonnées sphériques à partir des coordonnées planaires, sauf en l'infini.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie sur la sphère privée du pôle de projection ; pour obtenir une bijection avec la sphère entière il faut ajouter le point à l'infini au plan. Elle dépend du choix du pôle et du plan.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

On la confond parfois avec d'autres projections sphère-plan (orthographique, gnomonique, Lambert azimutale) qui échangent la conformité contre la conservation des aires ou des géodésiques ; la stéréographique se distingue par la conservation des angles et l'envoi des cercles sur des cercles (sauf ceux passant par le pôle).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La projection stéréographique est la correspondance conforme entre la sphère privée d'un point et le plan : elle projette le long des rayons d'un pôle, envoie les cercles sur des cercles (sauf s'ils traversent le pôle) et identifie le pôle au point à l'infini.