##  [Hyperplan](/fr/node/61789) 

 Définition

Un sous-espace affine de codimension un d'un espace affine ou un sous-espace linéaire de codimension un d'un espace vectoriel ; en géométrie projective un hyperplan est un sous-espace projectif de codimension un. Dans le cas affine il est défini par une seule équation linéaire et sépare l'espace ambiant en deux demi-espaces.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un hyperplan est donné par l'annulation d'un fonctionnel affine non trivial (ou linéaire homogène en contexte projectif) ; il est l'objet plat non trivial le plus simple et sert souvent de structure de support ou de séparation en géométrie linéaire et convexe.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans R^3, l'ensemble {x ∈ R^3 : ax + by + cz + d = 0} est un hyperplan affine (un plan) lorsque (a,b,c) ≠ (0,0,0) ; dans le plan projectif une droite est un hyperplan projectif décrit par une équation linéaire homogène.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier de hyperplan une surface courbe bidimensionnelle dans R^3, ou appeler hyperplan un sous-espace de codimension supérieure à un ; oublier la distinction entre contextes affine et projectif (les hyperplans affines séparent, les hyperplans projectifs non).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les hyperplans partitionnent l'espace affine en deux demi-espaces et sont fondamentaux en algèbre linéaire (noyaux de fonctionnelles linéaires), en convexité (hyperplans supports), en classification (séparateurs linéaires) et en dualité projective.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer un hyperplan par une hypersurface autorise une courbure non linéaire et une géométrie locale plus riche ; considérer des sous-espaces de plus basse codimension (droites, plans) réduit le pouvoir de séparation, tandis que des codimensions plus élevées n'en séparent pas.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux cadres linéaires, affines ou projectifs et suppose une structure vectorielle ou affine ; exclut les hypersurfaces non linéaires, les variétés sans structure linéaire et les ensembles discrets ; dans l'espace projectif il n'y a pas de séparation en demi-espaces.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec le terme plus large 'hypersurface' : les hyperplans sont des hypersurfaces linéaires/homogènes alors que les hypersurfaces peuvent être non linéaires ; tension aussi avec la notion d'« hyperplan à l'infini » qui distingue les vues affines et projectives.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un hyperplan est un sous-espace linéaire ou affine plat de codimension un (ou son analogue projectif) défini par une seule équation linéaire non triviale ; il constitue l'outil de séparation et de support de base en géométrie linéaire, affine et projective.