##  [Variété](/fr/node/61781) 

 Définition

Espace topologique localement homéomorphe à R^n ; souvent muni d'une structure supplémentaire (lisse, différentiable, analytique ou topologique) définie par un atlas de cartes et des applications de transition d'une certaine régularité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Des cartes locales euclidiennes permettent le calcul et la linéarisation locale : chaque point possède un voisinage envoyé homéomorphiquement (ou difféomorphiquement) sur un ouvert de R^n, et la compatibilité des cartes (applications de transition) fixe la classe de différentiabilité de la variété.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

La sphère S^n est une variété lisse : localement elle ressemble à R^n via des projections stéréographiques ou des cartes locales ; les espaces tangents en chaque point sont des espaces vectoriels de dimension n qui linéarisent le comportement local.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre qu'un espace présentant des singularités, une topologie non Hausdorff ou ne satisfaisant pas la seconde dénombrabilité est une variété constitue un abus ; de même supposer des coordonnées globales à partir de cartes locales est incorrect.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

En présence d'une structure de variété, on peut définir fibré tangent, formes différentielles, intégration, champs de vecteurs et appliquer topologie et géométrie différentielles ; des techniques local‑à‑global (partitions de l'unité, atlas) deviennent disponibles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse est un espace singulier (par exemple à points coniques ou orbifoldes) ou un espace sans cartes locales euclidiennes ; de tels espaces n'ont pas les outils différentiels usuels et réclament des théories alternatives.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Ici, 'variété' implique généralement un espace de Hausdorff et de seconde dénombrabilité modélisé sur R^n sauf précision contraire ; elle exclut les espaces pathologiques et, sauf mention, les points singuliers et les espaces non-variétés.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre notions de variété (topologique, différentiable, lisse, analytique) et concepts proches comme complexes CW, variétés algébriques ou orbifoldes : recoupements d'exemples existent mais les modèles locaux et singularités admises diffèrent.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une variété est une structure qui assemble des cartes locales euclidiennes en un espace global avec compatibilité contrôlée : elle offre l'arène où le calcul local et la linéarisation s'étendent au raisonnement géométrique et topologique global sous conditions de régularité et de séparation.