## [Plan](/fr/node/61774) Définition Surface plane bidimensionnelle qui s'étend indéfiniment, de courbure intrinsèque nulle, contenant toute droite joignant deux de ses points ; formellement une sous-variété affine de dimension deux ou un isomorphisme de R^2. ## Principe Principe Deux points distincts déterminent une droite unique contenue dans le plan ; trois points non colinéaires déterminent le plan. Le parallélisme et les combinaisons linéaires restreintes organisent les relations planaires. ## Démonstration Démonstration Le plan cartésien R^2 muni des coordonnées (x,y) et de la métrique euclidienne usuelle est un exemple : une droite s'écrit {p + t v : t ∈ R} pour un point p et un vecteur direction v de R^2. ## Mauvaise application Mauvaise application Qualifier une portion de surface courbe (par exemple un petit voisinage sphérique) de « plan » parce qu'elle paraît localement plate ignore la courbure intrinsèque et entraîne des erreurs sur les géodésiques et le transport parallèle. ## Conséquence Conséquence Considérer un objet comme un plan permet d'appliquer la géométrie euclidienne plane, l'algèbre linéaire 2×2 et des représentations en deux coordonnées ; de nombreux résultats sur droites, angles et aires s'appliquent directement. ## Inversion Inversion La mise en contraste est une surface bidimensionnelle courbe (variété non plate) ou une droite unidimensionnelle ; inverser la propriété définit des espaces où les géodésiques diffèrent des lignes droites ou présentent une courbure intrinsèque. ## Limite Limite Le terme exclut les surfaces à courbure intrinsèque, les ensembles discrets, et les plats de dimension supérieure ; il suppose une structure affine ou euclidienne plate et n'inclut pas d'ensembles pathologiques non séparés. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension provient de l'opposition entre « plan » comme sous-espace affine global et « plan tangent » sur une variété courbe : le premier est plat globalement, le second n'est qu'une approximation linéaire locale. ## Synthèse Synthèse Le plan est le cadre bidimensionnel global et plat de la géométrie euclidienne : déterminé par des conditions simples sur points et droites, il permet un raisonnement linéaire et métrique plan distinct des contextes courbes ou de plus grande dimension.