##  [Singularité de Coin](/fr/node/61739) 

 Définition

Une singularité géométrique qui apparaît lorsqu'au moins deux segments de frontière se rejoignent en formant un angle non triviale ; la géométrie locale entraîne une perte de régularité des solutions des problèmes aux limites (par exemple pour les EDP elliptiques) au voisinage de ce point.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'incompatibilité entre une paramétrisation régulière de la frontière et l'angle de réunion empêche une représentation par un développement globalement lisse ; des puissances singulières ou des modes angulaires apparaissent et réduisent la régularité dans les espaces de Sobolev ou de Hölder selon l'ouverture angulaire.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour l'équation de Laplace dans un secteur plan d'angle d'ouverture ω, les fonctions harmoniques admettent des termes en série comme r^{kπ/ω} sin(kπθ/ω) ; l'exposant positif le plus petit π/ω règle le comportement singulier dominant au voisinage de l'angle.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter un angle comme si la frontière était lisse et appliquer sans changement les estimations de régularité elliptique jusqu'au coin, ce qui conduit à des majorations d'erreur incorrectes pour les méthodes numériques.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'analyse correcte exige des espaces à poids, des développements singuliers locaux, un raffinement de maillage au voisinage du coin en éléments finis, ou l'extraction explicite des modes singuliers pour restaurer l'ordre d'approximation.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si la frontière est lissée de sorte que l'angle de réunion tende vers π (transition régulière), la singularité d'angle disparaît et la régularité classique jusqu'à la frontière est retrouvée.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le terme s'applique aux frontières à morceaux lisses se rencontrant sous un angle ; il exclut les pointes cuspidales issues d'une dégénérescence tangente, les singularités intérieures non liées à la frontière et les irrégularités réparables par les données aux limites.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

On le confond souvent avec le point de frontière irrégulier en théorie du potentiel : la singularité d'angle est géométrique et concerne la régularité des solutions, tandis que l'irrégularité potentielle concerne l'atteinte des valeurs aux limites et les propriétés probabilistes d'atteinte.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La singularité d'angle est le mécanisme géométrique par lequel la géométrie angulaire impose des composantes non lisses aux solutions ; l'identification des exposants singuliers permet de choisir des espaces adaptés, d'affiner les discrétisations ou de soustraire les parties singulières pour une analyse précise.