##  [Cuspide](/fr/node/61738) 

 Définition

Une singularité pointue sur une courbe ou une frontière où la régularité échoue parce que deux directions tangentes se confondent en une seule avec un contact d'ordre supérieur ; la courbe n'est pas régulière et la courbure diverge souvent.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Une cuspide apparaît lorsqu'une paramétrisation a des dérivées nulles d'ordre supérieur (par exemple t↦(t^2,t^3) en t=0) de sorte que les branches se rejoignent avec tangentes coïncidentes et que la structure de variété lisse échoue.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : la parabole semi-cubique donnée par y^2=x^3 possède une cuspide à l'origine ; la courbe a une direction tangente unique mais n'est pas différentiable comme courbe lisse intégrée en ce point.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier de cuspide tout angle vif ou sommet ; les coins ont des tangentes unilatérales distinctes (discontinuité angulaire), tandis qu'une cuspide implique des tangentes coïncidentes et un contact d'ordre supérieur entre branches.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les cuspides modifient les propriétés géométriques et analytiques locales : la courbure et les paramétrisations par longueur d'arc sont singulières, les multiplicités d'intersection locales augmentent, et la classification en théorie des singularités (type A2) s'applique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un nœud ou une intersection transversale est l'inverse : les branches se coupent avec des tangentes distinctes et la singularité est d'un type d'intersection plus simple plutôt que cuspidal à contact élevé.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique principalement aux courbes algébriques ou analytiques planes et aux questions de régularité de frontière ; exclut les coins ordinaires, les croisements et les tacnodes de multiplicité supérieure qui forment d'autres classes de singularités.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre la notion de cuspide et de coin en géométrie et régularité des EDP : les deux paraissent 'pointus' mais présentent des signatures analytiques différentes (annulation d'ordre supérieur versus discontinuité angulaire).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une cuspide est une singularité pointue de contact d'ordre supérieur où des dérivées s'annulent et les branches se coalisent tangentiellement ; c'est un point non régulier aux conséquences géométriques et analytiques marquées, distinct des coins ou croisements.