## [Singularité Essentielle](/fr/node/61735) Définition Un point singulier isolé a d'une fonction complexe f en lequel la série de Laurent possède une infinité de termes en puissances négatives ; le comportement local est fortement non polynomial et souvent chaotique sous continuation analytique. ## Principe Principe Les singularités essentielles se caractérisent par une partie principale infinie dans la série de Laurent ; des théorèmes classiques (Casorati–Weierstrass, grand théorème de Picard) décrivent la distribution dense ou quasi-totale des valeurs de f près du point. ## Démonstration Démonstration Exemple : f(z)=exp(1/z) a une singularité essentielle en z=0 ; dans tout voisinage de 0 l'image f(U\{0}) est dense dans C et prend presque toutes les valeurs complexes une infinité de fois. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre toute oscillation sauvage ou toute croissance non bornée avec un pôle ; contrairement aux pôles, les singularités essentielles ne s'éliminent pas en multipliant par une puissance finie et ne sont pas d'ordre fini. ## Conséquence Conséquence Les singularités essentielles empêchent une classification locale simple : des résidus peuvent exister pour des coefficients isolés mais la distribution des valeurs est extrême, compliquant la mappabilité locale et la continuation. ## Inversion Inversion En revanche, les singularités amovibles et les pôles admettent des opérations correctrices finies (redéfinition ou multiplication par une puissance) ; les essentielles échappent à ces normalisations finies. ## Limite Limite La définition porte sur des singularités isolées ; les points d'accumulation de singularités ou les comportements multi-valués de type branche sont exclus bien qu'ils puissent aussi produire des images compliquées. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre singularités essentielles et frontières naturelles ou accumulations de branches : les deux peuvent engendrer une image dense mais diffèrent par la structure de Laurent locale et par les formes normales disponibles. ## Synthèse Synthèse Une singularité essentielle est un point isolé où l'obstruction analytique est de nature infinie : la partie principale de Laurent est infinie, entraînant une distribution dense des valeurs et une dynamique locale fondamentalement non algébrique.