##  [Singularité Retirable](/fr/node/61733) 

 Définition

Un point singulier isolé a d'une fonction complexe f tel que f peut être redéfini ou étendu en a de manière à rendre la fonction prolongée analytique (holomorphe) dans un voisinage de a.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Une singularité est amovible si et seulement si la partie principale de la série de Laurent autour de ce point est nulle (ou, de façon équivalente, si f est bornée au voisinage percé du point ou si la limite de f(z) quand z→a existe) ; l'extension, si elle existe, est unique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : f(z)=sin(z)/z présente une singularité en z=0 mais la série de Laurent n'a pas de termes négatifs effectifs après annulation, donc en posant f(0)=1 on obtient un prolongement analytique en 0.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer comme amovible tout point isolé où f est bornée le long de certaines suites ; la bornitude le long de suites est insuffisante — il faut la bornitude dans un voisinage percé ou l'annulation de la partie principale.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien identifiée, une singularité amovible peut être supprimée pour produire une fonction holomorphe sur un domaine plus grand ; cela préserve la continuation analytique et la résidu est nul au point.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inversion conduit aux pôles ou aux singularités essentielles : un pôle correspond à une partie principale finie non nulle et une singularité essentielle à une queue infinie de termes négatifs dans la série de Laurent.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux singularités isolées de fonctions analytiques à valeur unique ; ne concerne pas les points de branchement, les accumulations de singularités ni les comportements multi-valués de type branche.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre « amovible » et comportements apparemment bornés mais non prolongeables, et entre amovible et pôle lorsque la limite est finie ou infinie ; distinguer la bornitude dans un voisinage percé de la bornitude ponctuelle est crucial.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une singularité amovible est un trou isolé où l'obstruction analytique est seulement définitionnelle : la partie principale de la Laurent est absente, permettant un prolongement holomorphe unique qui restaure la régularité locale.