## [Point D'Accumulation](/fr/node/61731) Définition Un point tel que tout voisinage contient une infinité de points distincts d'un ensemble donné ; équivalemment un point limite duquel l'ensemble n'est pas isolé, utilisé pour décrire le comportement limite de suites et de sous-ensembles. ## Principe Principe Saisir un comportement limite non discret : les points d'accumulation indiquent que l'ensemble possède d'autres points arbitrairement proches et sont centraux pour l'adhérence, l'ensemble dérivé et les arguments de compacité. ## Démonstration Démonstration La suite 1/n dans R a 0 comme point d'accumulation puisque tout voisinage de 0 contient une infinité de termes 1/n. Les rationnels sont denses dans R et tout réel est point d'accumulation de Q. ## Mauvaise application Mauvaise application Qualifier un point d'accumulation sur la base d'une seule sous-suite convergente sans vérifier qu'une infinité de points distincts du ensemble se trouvent arbitrairement proches ; confondre ensembles de limites finis avec un vrai comportement d'accumulation. ## Conséquence Conséquence Les points d'accumulation déterminent l'ensemble dérivé et interviennent dans les caractérisations de la compacité (par ex. tout sous-ensemble infini d'un espace compact possède un point d'accumulation) et éclairent continuité et propriétés de convergence. ## Inversion Inversion Un point isolé, où existe un voisinage contenant aucun autre point de l'ensemble ; dans des topologies discrètes, les points d'accumulation peuvent être absents même pour des ensembles infinis. ## Limite Limite Défini dans tout espace topologique au moyen de voisinages ; en contexte métrique on peut l'exprimer par des distances et une infinité de points distincts, tandis que dans certains contextes algébriques ou discrets les points d'accumulation peuvent ne pas exister. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre accumulation (infinité de points distincts rapprochés) et adhérence/fermeture (qui peut inclure des points isolés) ; entre points limites séquentiels (limites de suites) et points d'accumulation topologiques dans des espaces non à base dénombrable. ## Synthèse Synthèse Un point d'accumulation est un lieu limite non isolé où les éléments d'un ensemble se concentrent arbitrairement près ; c'est la manifestation topologique d'une densité locale infinie et il sous-tend compacité, adhérence et arguments de convergence.