##  [Théorème D'Arzelà-Ascoli](/fr/node/61683) 

 Définition

Caractérisation des sous-ensembles relativement compacts de C(K) (fonctions continues sur un domaine compact K) pour la topologie uniforme : une famille est relativement compacte si et seulement si elle est équicontinue et pointwise relativement compacte (souvent formulé équicontinue et bornée en chaque point).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un contrôle uniforme des oscillations (équicontinuité) associé à un contrôle en chaque point empêche les divergences sauvages et garantit la précompacité pour la norme uniforme sur un domaine compact.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Sur K = [0,1], la famille de fonctions ayant une constante de Lipschitz uniforme L et des valeurs uniformément bornées en un point est équicontinue et bornée point par point ; par Arzelà-Ascoli, toute suite admet une sous-suite convergeant uniformément. En revanche, la famille f_n(x)=sin(n x) sur [0,2π] n'est pas équicontinue et n'admet pas de sous-suite convergeant uniformément.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser le théorème sur des domaines non compacts, dans des espaces sans structure de norme uniforme, ou ignorer l'équicontinuité : la seule bornitude point par point n'implique pas la précompacité ; sur K non compact la conclusion peut échouer.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit un test pratique de compacité pour des ensembles de fonctions continues garantissant l'existence de sous-suites convergeant uniformément et joue un rôle fondamental dans l'étude des équations différentielles, du calcul des variations et des plongements compacts.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si une famille n'est pas équicontinue ou pas bornée en chaque point, elle n'est généralement pas relativement compacte ; la négation des hypothèses permet souvent de construire des suites sans sous-suite uniformément convergente.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige un domaine K compact et la topologie de convergence uniforme (norme sup) sur les fonctions continues. Ne s'applique pas directement aux espaces L^p, aux distributions ou aux domaines non compacts sans ajustements.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec la convergence point par point et la compacité faible : Arzelà-Ascoli assure une précompacité forte (uniforme), plus forte que la simple compacité point par point ou la compacité faible ; distinguer ces modes est crucial en pratique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Arzelà-Ascoli relie équicontinuité et contrôle point par point à la précompacité dans C(K) : les familles de fonctions continues dont les oscillations et valeurs sont uniformément contrôlées n'ont que des accumulations en norme uniforme, fournissant des sous-suites de convergence uniforme.