##  [Théorème Fondamental du Calcul](/fr/node/61673) 

 Définition

Paire de résultats reliant dérivation et intégration : (1) si f est intégrable sur [a,b] et F(x)=∫_a^x f(t) dt alors F est continue et F'(x)=f(x) presque partout sous des conditions légères ; (2) si F est une primitive de f sur [a,b] alors ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La dérivation et l'intégration définie sont des opérations inverses sous une régularité appropriée : construire l'intégrale de f fournit une primitive ; évaluer une intégrale définie se fait par la différence de primitives.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : pour f(x)=2x, une primitive est F(x)=x^2. Alors ∫_1^3 2x dx = F(3)-F(1) = 9-1 = 8 ; de même la fonction x↦∫_1^x 2t dt a pour dérivée 2x. Cela illustre concrètement les deux parties.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser des primitives pour calculer une intégrale définie quand f n'est pas intégrable selon le sens utilisé, ou permuter dérivation et intégration sans vérifier la convergence uniforme ou la différentiabilité sous le signe intégral ; ces abus peuvent donner des valeurs erronées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit la méthode standard pour évaluer les intégrales définies via des primitives et justifie de nombreuses manipulations qui échangent dérivation et intégration en contextes appliqués et théoriques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciproque naïve — toute fonction dont la dérivée est f est automatiquement une intégrale de f par rapport à tout point de départ — échoue sans conditions d'intégrabilité et de régularité ; deux primitives diffèrent toujours d'une constante.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige des hypothèses d'intégrabilité (Riemann ou Lebesgue) et une différentiabilité/continuité appropriée. Les formulations techniques précises varient selon qu'on travaille dans le cadre de Riemann ou de Lebesgue et selon les discontinuités autorisées.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre les deux parties (existence d'une primitive via l'intégration vs usage d'une primitive pour calculer une intégrale) et entre formulations Riemann/Lebesgue ; l'usage erroné provient souvent d'avoir négligé les hypothèses nécessaires pour l'échange de limites et de dérivées.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème fondamental du calcul unit les procédés d'accumulation d'aire et de mesure du taux de variation : intégrer une fonction reconstruit une primitive, et évaluer la différence d'une primitive calcule l'accumulation totale — ensemble ils établissent que, sous régularité appropriée, intégration et dérivation sont des opérations inverses.