##  [Théorème des Valeurs Intermédiaires](/fr/node/61666) 

 Définition

Énoncé selon lequel une fonction continue à valeurs réelles sur un intervalle fermé [a,b] prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) : pour toute valeur v comprise entre f(a) et f(b) il existe c∈[a,b] tel que f(c)=v.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La continuité sur un domaine connexe (un intervalle) empêche les sauts des valeurs intermédiaires ; l'image d'un ensemble connexe par une application continue est connexe, donc un intervalle contenant toutes les valeurs intermédiaires réelles.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si f est continue sur [0,1] avec f(0)=-1 et f(1)=2, alors il existe c∈[0,1] tel que f(c)=0 ; c'est l'argument d'existence utilisé dans les méthodes de recherche de zéros comme la bissection.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des fonctions discontinues ou à des domaines disjoints ; par exemple, une fonction avec une discontinuité de saut entre a et b n'a pas à prendre les valeurs intermédiaires.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Garantit l'existence de zéros et de solutions intermédiaires et fonde des algorithmes de recherche de racines ; assure que l'image d'un intervalle est un intervalle et soutient la préservation de la connexité par des applications continues.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Il existe des fonctions ayant la propriété des valeurs intermédiaires sans être continues (fonctions de Darboux), donc la réciproque est fausse ; en revanche la discontinuité peut détruire la propriété des valeurs intermédiaires.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite un domaine connexe (généralement un intervalle) et la continuité sur ce domaine ; ne s'applique pas aux fonctions à valeurs dans des espaces non ordonnés sans notion d'intermédiaire et exclut les subtilités des domaines ouverts ou non compacts sans prolongement de la continuité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec la propriété de Darboux : la continuité implique la propriété des valeurs intermédiaires, mais celle-ci n'implique pas la continuité ; tension également avec la monotonie, qui garantit les valeurs intermédiaires via la structure d'ordre.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème relie la connexité topologique et la continuité pour produire l'existence de valeurs intermédiaires : une fonction continue sur un intervalle ne peut omettre de valeurs intermédiaires, permettant l'existence de racines et la conservation de la structure d'intervalle dans l'image.