##  [Variation Bornée](/fr/node/61664) 

 Définition

Une fonction à valeurs réelles sur un intervalle est de variation bornée si le supremum, sur toutes les partitions finies de l'intervalle, de la somme des valeurs absolues des différences successives est fini ; équivalemment elle s'écrit comme différence de deux fonctions monotones croissantes (décomposition de Jordan).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Quantifier l'oscillation cumulative totale en sommant les sauts absolus sur les partitions ; une variation totale bornée contrôle l'irrégularité, fournit une dérivée au sens des mesures finie et permet une décomposition en parties monotones.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Une fonction par morceaux monotone avec un nombre fini de discontinuités de saut sur [a,b] a une variation totale finie égale à la somme des différences absolues le long des morceaux et des sauts ; une fonction monotone continue a pour variation son amplitude.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre qu'une fonction de variation bornée est continue ou dérivable partout ; certaines fonctions BV ont une infinité dénombrable de sauts et ne sont pas dérivables en de nombreux points.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les fonctions BV sont intégrables, admettent une mesure de Radon signée finie comme dérivée distributionnelle, satisfont à des propriétés de compacité en L1 (sélection de Helly) et conviennent comme intégrandes ou intégrateurs de Stieltjes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les fonctions de variation non bornée peuvent osciller sans contrôle à toute échelle de partition (par exemple des fonctions continues de variation divergente), montrant que BV est une régularité contraignante.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des fonctions réelles sur des intervalles (ou plus généralement via des notions de variation pour plusieurs variables) ; exclut les domaines infiniment dimensionnels sans définitions adaptées et ne coïncide pas avec l'absolue continuité sans conditions supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec l'absolue continuité et la régularité Sobolev : BV admet des sauts et une partie singulière dans la mesure dérivée, tandis que l'absolue continuité implique une dérivée en L1 et l'absence de composante singulière.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La variation bornée traduit une finitude globale de l'oscillation totale sur un intervalle, équivalente à la décomposition de Jordan et à l'existence d'une mesure dérivée signée finie, situant BV entre la simple intégrabilité et l'absolue continuité.