##  [Module de Continuité](/fr/node/61662) 

 Définition

Une fonction ω : [0,∞) → [0,∞) qui associe à chaque échelle δ le supremum de |f(x)-f(y)| pour toutes les paires de points à distance au plus δ ; elle quantifie l'oscillation maximale de f à cette échelle.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Caractériser le contrôle uniforme des variations selon les échelles : de petites valeurs de ω(δ) pour de petits δ expriment la continuité uniforme, et certaines formes (par ex. ω(δ)=Lδ) traduisent la régularité Lipschitz ou Hölder.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une fonction Lipschitz de constante L, le module est ω(δ)=L·δ. Pour f(x)=√x sur [0,1], un module admissible est ω(δ)=√δ, montrant un comportement Hölder d'exposant 1/2.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Remplacer le supremum global par l'oscillation en un point ou confondre le module avec une dérivée ; ou supposer une forme donnée de ω sans vérifier le supremum sur toutes les paires.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Un module ω tel que ω(δ)→0 quand δ→0 est équivalent à la continuité uniforme ; des modules explicites fournissent des taux quantitatifs de convergence pour les approximations et contrôlent l'erreur dans les schémas numériques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Plutôt que de mesurer l'oscillation maximale à l'échelle δ, mesurer l'oscillation minimale ou des taux ponctuels ne rend pas compte du comportement uniforme global et peut s'annuler trivialement.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour des fonctions sur des espaces métriques où les distances de paires sont définies ; dépend de la métrique et n'indique pas directement la différentiabilité ni le comportement local au-delà de l'oscillation selon l'échelle.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec le module de continuité point par point : le module global impose un contrôle uniforme sur tout le domaine, tandis que les variantes ponctuelles ne reflètent que des taux locaux et peuvent diverger.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le module de continuité concentre en une fonction monotone ω(δ) l'oscillation maximale selon l'échelle d'une fonction ; son comportement pour δ petit distingue la continuité uniforme et des régularités plus fines comme Lipschitz ou Hölder.