## [Bornitude](/fr/node/61658) Définition Propriété d’une fonction, d’un opérateur ou d’un ensemble selon laquelle ses valeurs ou éléments ont une norme uniformément finie : un ensemble S dans un espace normé est borné si sup_{x∈S}‖x‖<∞ ; une fonction f est bornée si sup_{x dans le domaine}‖f(x)‖<∞. ## Principe Principe L’idée organisatrice est le contrôle de la taille par une borne supérieure finie : la bornitude remplace une croissance arbitraire par un supremum global fini, permettant des estimations uniformes et des arguments de compacité en dimensions finies. ## Démonstration Démonstration Scénarios illustratifs : l’intervalle [−1,1]⊂R est borné car sup|x|=1. La fonction sin: R→R est bornée puisque |sin x|≤1 pour tout x. Dans un espace de Banach, un opérateur linéaire borné envoie des ensembles bornés sur des ensembles bornés. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre bornitude avec compacité, complétude ou intégrabilité. Par exemple, traiter tout ensemble borné infini comme ayant des points d’accumulation (faux en espaces de dimension infinie) ou supposer que la bornitude implique la continuité d’un opérateur sans autres hypothèses. ## Conséquence Conséquence La bornitude permet des estimations uniformes, garantit que les images par des opérateurs linéaires bornés restent bornées, et constitue une condition préalable pour de nombreux théorèmes (p. ex. principe de Banach–Steinhaus). En dimension finie, les ensembles bornés et fermés sont compacts, ce qui permet des conclusions plus fortes. ## Inversion Inversion Le contraire est l’absence de borne (non borné) : par exemple des suites dont la norme tend vers l’infini ou des fonctions à croissance non bornée comme f(x)=x sur R. ## Limite Limite Notion attachée à la norme ou à la métrique ambiante ; la bornitude dépend de la norme choisie (des normes équivalentes en dimension finie donnent les mêmes ensembles bornés). Elle n’implique pas, en soi, d’autres propriétés (compacité, fermeture, intégrabilité) sauf si une structure supplémentaire est présente. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension avec des notions telles que bornitude relative, bornitude locale ou bornitude pointwise vs uniforme pour des familles de fonctions : elles expriment différentes forces de la même idée informelle et ne sont pas interchangeables. ## Synthèse Synthèse La bornitude est l’exigence quantitative simple selon laquelle aucun élément ou valeur ne dépasse une taille finie fixe dans la norme choisie, servant d’hypothèse de contrôle fondamentale en analyse.