## [Différentiabilité de Fréchet](/fr/node/61654) Définition Notion forte de différentiabilité pour des applications entre espaces vectoriels normés : en un point x, la fonction f admet un opérateur linéaire borné L (la dérivée de Fréchet) tel que f(x+h)-f(x)-L(h)=o(‖h‖) lorsque h→0, c’est‑à‑dire que L approxime uniformément l’accroissement d’ordre un de f. ## Principe Principe La règle organisatrice est l’existence d’un unique opérateur linéaire borné fournissant une approximation uniforme au premier ordre : le reste divisé par la norme de l’incrément tend vers zéro. Ceci réunit linéarité, bornitude et une petite erreur uniforme. ## Démonstration Démonstration Exemple concret en dimensions finies : f: R^2→R définie par f(x,y)=x^2+y^2 est différentiable au sens de Fréchet en (x0,y0) avec L(h1,h2)=2x0·h1+2y0·h2. On vérifie que (f(x0+h)-f(x0)-L(h))/‖h‖→0 quand h→0. ## Mauvaise application Mauvaise application Prétendre que l’existence de dérivées directionnelles suivant chaque vecteur (dérivées de Gâteaux) suffit pour obtenir une dérivée de Fréchet ; en dimension infinie cela peut échouer : les dérivées directionnelles existent sans qu’il y ait un opérateur linéaire borné qui approxime uniformément f. ## Conséquence Conséquence Si elle existe, la dérivée de Fréchet est unique, linéaire et bornée ; elle entraîne la continuité de f et autorise les règles usuelles du calcul (somme, composition lorsque définies) ainsi que des estimations d’erreur utilisées en méthodes de Newton et en analyses de stabilité. ## Inversion Inversion La situation inverse est une fonction ayant des dérivées directionnelles dans de nombreuses directions mais sans opérateur linéaire borné qui approxime les accroissements : il n’y a pas d’approximation linéaire uniforme au premier ordre, donc pas de différentiabilité de Fréchet. ## Limite Limite S’applique seulement aux espaces vectoriels normés (ou à des cadres métriques compatibles) et est une propriété ponctuelle ; exclut la simple existence de dérivées directionnelles sans contrôle uniforme, et l’approximation par des cartes non linéaires. Elle suppose aussi une asymptotique pour les petits vecteurs et une cible linéaire pour L. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent mise en contraste avec la différentiabilité de Gâteaux : les deux utilisent des informations directionnelles, mais Fréchet exige un seul approximant linéaire borné et une condition d’erreur plus forte. En dimension finie elles coïncident sous des hypothèses simples, mais pas en général. ## Synthèse Synthèse La différentiabilité de Fréchet exige qu’une application admette un opérateur linéaire borné unique qui fournit la meilleure approximation linéaire uniforme des accroissements en un point, retrouvant ainsi la structure du calcul différentiel dans les espaces normés.