## [Continuité Uniforme](/fr/node/61648) Définition Version globale de la continuité : une fonction f sur un domaine D est uniformément continue si pour tout ε>0 il existe un δ>0 unique tel que pour tous x,y∈D, d(x,y)<δ implique d(f(x),f(y))<ε. L'essentiel est que δ dépend seulement de ε et non du point. ## Principe Principe Une même tolérance sur l'entrée contrôle les sorties uniformément sur tout le domaine ; la même taille de voisinage suffit partout pour garantir la tolérance en sortie prescrite. ## Démonstration Démonstration La fonction f(x)=x sur R est uniformément continue car |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|=|x-y|<ε en prenant δ=ε. En revanche f(x)=x^2 sur R est continue mais pas uniformément continue : vers l'infini de très petits changements d'entrée peuvent produire de grandes variations de sortie. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que toute fonction continue sur un domaine quelconque est uniformément continue ; négliger la géométrie du domaine (par exemple la continuité sur un compact implique uniformité, mais pas sur un domaine non borné). ## Conséquence Conséquence Une fonction uniformément continue envoie suites de Cauchy sur des suites de Cauchy et est stable par limites uniformes ; sur un domaine complet une fonction uniformément continue s'étend de manière unique et continue à l'adhérence si le codomaine est complet. ## Inversion Inversion La continuité ponctuelle (non uniforme) permet que le δ nécessaire diminue selon le point ; l'inverse met en évidence des fonctions pour lesquelles aucun δ unique ne convient pour tous les points, même si chaque point a son δ(ε,x). ## Limite Limite Dépend de la structure globale du domaine et d'une métrique ou d'une structure uniforme ; la continuité uniforme est une propriété globale et se définit aussi dans des espaces uniformes. Les versions locales sont plus faibles. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent opposée à la continuité de Lipschitz : Lipschitz est plus forte (contrôle linéaire) alors que la continuité uniforme n'exige qu'un δ(ε) uniforme ; on la confond aussi parfois avec la continuité sur ensembles compacts où elles coïncident. ## Synthèse Synthèse La continuité uniforme renforce la continuité ponctuelle en demandant un δ unique pour chaque ε qui fonctionne sur tout le domaine ; elle caractérise une régularité globale qui garantit la conservation du comportement de Cauchy et l'extensibilité.