##  [Intégration par Parties](/fr/node/61634) 

 Définition

L'identité transformant l'intégrale d'un produit de fonctions en un terme aux limites moins l'intégrale d'une fonction multipliée par la dérivée de l'autre : ∫ u dv = uv − ∫ v du, valable sous des conditions appropriées de différentiabilité et d'intégrabilité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

C'est la forme intégrale de la règle du produit : comme (uv)' = u'v + uv', l'intégration des deux membres donne l'identité d'intégration par parties ; la méthode échange la dérivation d'un facteur contre l'intégration de l'autre.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour calculer ∫ ln(x) dx sur (1,a), poser u = ln(x), dv = dx. Alors du = dx/x et v = x, donnant ∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x ln(x) − x + C.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer l'intégration par parties sans s'assurer que le terme aux limites uv soit fini ou que v et du soient intégrables ; une application répétée sans amélioration de l'intégrabilité peut produire des expressions divergentes ou mal définies.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien appliquée, l'intégration par parties simplifie les intégrales, fournit des réductions pour les fonctions spéciales, donne des formulations faibles des équations différentielles et sous-tend les définitions de dérivées distributionnelles et d'espaces de Sobolev.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La vue inverse consiste à déduire la règle du produit à partir de l'identité intégrale, ou à considérer l'IPP comme l'intégration de la dérivée d'un produit ; omettre les termes aux bornes inverse l'égalité en introduisant des contributions limites manquantes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige que u soit absolument continue (ou différentiable avec dérivée intégrable) et que v soit une primitive de dv avec intégrabilité adaptée pour que uv et ∫ v du soient définis ; ne s'applique pas naïvement à des facteurs purement distributionnels sans réinterprétation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'intégration par parties comme manipulation algébrique formelle et son usage rigoureux dans des espaces de dérivées faibles : en calcul classique, les bornes et l'intégrabilité sont explicites, tandis qu'en théorie de Sobolev on reformule l'IPP comme dualité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'intégration par parties convertit une intégrale de produit en termes aux limites plus une intégrale plus simple en utilisant la règle du produit ; son application rigoureuse dépend du comportement aux bornes et de l'intégrabilité et relie le calcul élémentaire aux cadres de dérivées faibles.