## [Équivalence de Catégories](/fr/node/61594) Définition Une relation entre catégories C et D donnée par des foncteurs F : C → D et G : D → C munis d'isomorphismes naturels η : Id_C ⇒ G∘F et ε : F∘G ⇒ Id_D ; équivalemment F est essentiellement surjectif sur les objets et pleinement fidèle, de sorte que C et D partagent la même structure catégorique à isomorphisme cohérent près. ## Principe Principe L'équivalence saisit la 'même' catégorie à un isomorphisme d'objets et de morphismes près : la pleine fidélité préserve exactement les ensembles de morphismes et l'essentielle surjectivité garantit que tout objet cible est isomorphe à un objet de l'image, produisant un comportement inverse à isomorphisme naturel près plutôt qu'à égalité stricte. ## Démonstration Démonstration Vect_k^fd (espaces vectoriels de dimension finie sur un corps k) est équivalente à la catégorie Mat_k dont les objets sont les entiers naturels n et dont les morphismes n→m sont les matrices m×n sur k : en choisissant une base V ≅ k^n, le foncteur qui envoie k^n sur n et les applications linéaires sur leurs matrices est pleinement fidèle et essentiellement surjectif à isomorphisme de base près. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer l'équivalence comme une égalité littérale de catégories (attendre des objets et Hom-ensembles identiques) ou supposer que toute paire de foncteurs adjoints donne une équivalence ; ne pas distinguer isomorphisme strict et équivalence à isomorphisme cohérent près est une erreur fréquente. ## Conséquence Conséquence Lorsque les catégories sont équivalentes, toutes les propriétés catégoriques invariantes par équivalence (limites, colimites, représentabilité, monadicité, etc.) se transfèrent ; on peut effectuer calculs ou classifications dans la catégorie équivalente plus simple puis les traduire via l'équivalence. ## Inversion Inversion Un isomorphisme strict de catégories (un foncteur inversible dont l'inverse est égal sur le nez) est plus fort que l'équivalence ; inversement, affaiblir l'équivalence en simple adjointité ou similarité des classes d'objets supprime la cohérence et fait généralement perdre la transférabilité des invariants. ## Limite Limite L'équivalence exige des isomorphismes naturels et donc des données de cohérence ; elle ne réclame pas l'égalité point par point des objets ou des ensembles sous-jacents. L'équivalence est une notion 2-catégorique — deux catégories peuvent être équivalentes sans être strictement isomorphes. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent confondue avec l'isomorphisme de catégories ou avec l'existence d'une bijection d'objets ; l'équivalence est plus subtile : elle permet de renommer les objets à isomorphisme près et met l'accent sur la préservation de la structure catégorique plutôt que sur l'identité littérale. ## Synthèse Synthèse Une équivalence de catégories est une paire de foncteurs fournissant un comportement inverse à isomorphisme naturel près, caractérisée par la pleine fidélité et l'essentielle surjectivité, déclarant deux catégories 'identiques' pour les fins catégoriques tout en permettant le renommage cohérent d'objets et de morphismes.