## [Élément sans Torsion](/fr/node/61576) Définition Un élément d'un groupe abélien ou d'un module qui n'est pas de torsion ; autrement dit aucun entier non nul (ou scalaire non nul prescrit) ne l'annihile, ce qui traduit l'absence d'obstacles d'ordre fini. ## Principe Principe Les éléments sans torsion permettent une immersion fidèle dans des espaces vectoriels après tensorisation par Q (ou le corps des fractions) et fondent la notion de rang ; ils forment la base des sous-modules libres lorsque la torsion est éliminée. ## Démonstration Démonstration 1 dans Z est sans torsion car n·1 ≠ 0 pour tout entier n non nul ; vecteurs non nuls d'un espace vectoriel sur Q sont sans torsion en tant que Z-modules ; Q comme Z-module est sans torsion mais pas libre de rang fini. ## Mauvaise application Mauvaise application Prétendre qu'un élément sans torsion implique qu'il est libre : des modules comme Q sur Z sont sans torsion mais ne sont pas libres de rang fini ; omettre de préciser l'ensemble des scalaires peut induire en erreur — la torsion sur Z diffère de celle sur un autre anneau. ## Conséquence Conséquence Les éléments sans torsion permettent de définir le rang, assurent une certaine injectivité de la multiplication par des scalaires non nuls, et garantissent un meilleur comportement sous localisation ; ils sont prérequis pour construire des bases après extension appropriée. ## Inversion Inversion La notion opposée est l'élément de torsion, annihilé par un scalaire non nul. Éliminer la torsion (quotienter par le sous-groupe de torsion) transforme un module en module sans torsion lorsque cela est possible. ## Limite Limite S'applique surtout aux modules sur des domaines intègres ou aux groupes abéliens ; pour des modules sur des anneaux avec diviseurs de zéro il faut affiner la notion (par ex. torsion relative à des éléments réguliers) et elle peut ne pas séparer clairement le comportement libre. ## Tension sémantique Tension sémantique Sans torsion est souvent confondu avec « libre » ou avec « divisible » en langage courant ; divisibilité et absence de torsion sont des propriétés indépendantes et doivent être distinguées, surtout en contexte infini ou non noethérien. ## Synthèse Synthèse Un élément sans torsion est un élément qui résiste à la multiplication par scalaires non nuls sans s'annihiler ; isoler les parties sans torsion clarifie les questions de rang et de liberté et constitue une étape initiale dans la décomposition structurelle des modules.