##  [Complétion du Modèle](/fr/node/61560) 

 Définition

Une complétion de modèle d'une théorie du premier ordre T est une théorie T* qui est un companion de modèle de T, qui est modèle-complète (toute immersion entre modèles de T* est élémentaire) et dont les modèles sont précisément les modèles existentialement clos de T.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Étendre T par des axiomes qui imposent toutes les conséquences existentielles compatibles avec T de façon à ce que les immersions préservent toutes les formules du premier ordre, transformant l'étude en un problème d'existence fermée.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour la théorie des corps, la théorie des corps algébriquement clos (ACF) est une complétion de modèle : ACF est modèle-complète et ses modèles sont exactement les corps qui sont existentialement clos parmi tous les corps.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre toute extension conservative ou complète de T pour une complétion de modèle ; l'existence d'une complétion de modèle n'est pas automatique et peut échouer pour de nombreuses théories.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsqu'une complétion existe, elle offre un contrôle uniforme des ensembles définissables (souvent élimination des quantificateurs) et une unicité à équivalence logique près, simplifiant la classification des modèles par fermeture existentielle.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La notion inverse est une théorie T qui admet de nombreuses extensions propres ne rendant pas les immersions élémentaires ; il n'existe pas de compagnon unique capturant la fermeture existentielle et la vérité des formules peut varier selon l'extension.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux théories du premier ordre ; toutes les théories n'ont pas de complétion de modèle. L'existence dépend souvent de propriétés d'amalgamation et de stabilité liées au langage et à l'axiomatisation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Conflit avec l'idée de companion de modèle ou d'extension conservative : un companion de modèle n'est pas nécessairement modèle-complète, et exiger la modèle-complétude resserre les conditions d'existence et le champ sémantique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La complétion de modèle est le compagnon le plus fort de T qui internalise la fermeture existentielle en garantissant que toute immersion est élémentaire, convertissant ainsi des contraintes existentielles externes en axiomes internes.