##  [Compagnon de Modèle](/fr/node/61559) 

 Définition

Une théorie compagnon T* d'une théorie T est une théorie telle que (i) T et T* ont les mêmes conséquences universelles, (ii) tout modèle de T s'embedde dans un modèle de T*, et (iii) T* est modèle-complète (tout plongement entre modèles de T* est élémentaire). Lorsqu'elle existe, T* capture la fermeture modèle-complète de la partie universelle de T.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Ajouter à une théorie universelle les conséquences existentielle nécessaires pour forcer la modèle-complétude tout en préservant la partie universelle ; le compagnon est une théorie modèle-complète canonique partageant le même fragment universel que la théorie d'origine lorsque les plongements requis existent.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

La théorie des corps algébriquement clos (ACF) est le compagnon de modèle de la théorie des corps : tout corps s'embedde dans un corps algébriquement clos, ACF est modèle-complète, et ACF et la théorie des corps ont les mêmes phrases universelles (les axiomes de corps sans clôture existentielle).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que toute théorie possède un compagnon de modèle ou confondre compagnon de modèle et complétion modèle (cette dernière exige des propriétés d'extension supplémentaires) ; utiliser un compagnon supposé sans vérifier les conditions d'embedding ou d'universalité est incorrect.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsqu'un compagnon de modèle existe, il simplifie l'analyse modèle-théorique : il fournit souvent la modèle-complétude, un meilleur contrôle des ensembles définissables, et des simplifications pour la classification et les arguments d'élimination de quantificateurs reposant sur la clôture existentielle.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

S'il n'existe pas de compagnon de modèle, on ne peut pas passer uniformément des modèles arbitraires de T à une enveloppe modèle-complète unique ; exiger une complétion modèle (plus forte que le compagnon) peut échouer parce que certaines conséquences existentielles ne peuvent être forcées sans changer la théorie universelle.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'existence d'un compagnon dépend de conditions syntaxiques et modèle-théoriques (exigences de type amalgame, possibilité d'embedder les modèles, préservation des universels) ; un compagnon, s'il existe, n'est pas nécessairement unique dans des sens faibles et ne garantit pas la complétude ou l'élimination de quantificateurs sans hypothèses supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre compagnon de modèle, complétion modèle et extensions conservatives : le compagnon préserve les conséquences universelles et atteint la modèle-complétude, tandis que la complétion modèle est un objet plus fort et souvent unique lorsque elle existe ; ces notions interagissent avec la clôture existentielle et les propriétés d'embeddding.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un compagnon de modèle est une théorie modèle-complète partageant le fragment universel d'une théorie d'origine et dans laquelle tout modèle de l'origine s'embedde ; lorsqu'il existe, il offre une enveloppe modèle-complète canonique qui facilite l'analyse existentielle et structurelle.