## [Plongement Élémentaire](/fr/node/61550) Définition Un homomorphisme injectif f : M → N entre structures d'un même langage qui préserve la vérité de toute formule du premier ordre à paramètres de M : pour toute formule φ(x,a) et tout tuple a de M, M ⊨ φ(x,a) si et seulement si N ⊨ φ(f(x),f(a)). ## Principe Principe Les plongements élémentaires sont les morphismes en théorie des modèles qui respectent la satisfaction complète du premier ordre : ils transfèrent toutes les propriétés et types du premier ordre de la source vers la cible, et pas seulement les faits atomiques ou sans quantificateurs. ## Démonstration Démonstration Si M est une sous-structure élémentaire de N (M ≺ N), l'inclusion i : M ↪ N est un plongement élémentaire ; ainsi toute formule avec paramètres dans M est vraie dans M exactement quand elle est vraie dans N via l'inclusion, illustrant la préservation de la vérité du premier ordre. ## Mauvaise application Mauvaise application Prendre pour élémentaire tout homomorphisme injectif ou tout plongement entre structures algébriques ; beaucoup de plongements naturels (par exemple Q ↪ R en tant que corps ordonnés) ne sont pas élémentaires car ils ne préservent pas certaines propriétés quantifiées comme la complétude ou l'existence de limites. ## Conséquence Conséquence Les plongements élémentaires préservent les types complets au-dessus de la source et garantissent que les constructions model-théoriques (extensions élémentaires, chaînes élémentaires) conservent les propriétés du premier ordre ; ils sont centraux pour les arguments back-and-forth et la construction de modèles saturés. ## Inversion Inversion L'opposé est un simple plongement qui n'est pas élémentaire : il injecte la structure mais ne préserve pas certaines formules du premier ordre, ce qui souligne la distinction entre préservation syntaxique (élémentaire) et plongement purement algébrique ou catégorique. ## Limite Limite Nécessite la même signature et la sémantique du premier ordre ; n'exige pas la surjectivité (un plongement élémentaire surjectif est un isomorphisme élémentaire) et exclut les notions plus faibles telles que l'équivalence élémentaire sans application témoin ou la préservation limitée aux formules sans quantificateurs. ## Tension sémantique Tension sémantique Il existe une tension entre plongement élémentaire et isomorphisme : un plongement élémentaire peut ne pas être surjectif, il relie donc un petit modèle à une sous-structure élémentaire propre d'un plus grand ; simultanément, il est strictement plus fort que la simple équivalence élémentaire qui ne fournit pas d'injection explicite. ## Synthèse Synthèse Un plongement élémentaire est une application injective entre modèles qui préserve exactement la vérité des formules du premier ordre avec paramètres ; c'est la notion correcte d'inclusion structurelle en théorie des modèles pour transférer formules, types et propriétés model-théoriques.