## [Dimension de Krull](/fr/node/61499) Définition Le supremum des longueurs n de chaînes d'idéaux premiers P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn dans un anneau commutatif (ou des fermés irréductibles dans un schéma), fournissant une mesure algébrique de la dimension géométrique. ## Principe Principe Mesurer la dimension par le nombre maximal d'inclusions strictes d'idéaux premiers ; équivalemment compter les chaînes de fermés irréductibles dans le spectre, reliant ainsi notions algébriques et géométriques de dimension. ## Démonstration Démonstration Un corps a dimension de Krull 0 car son seul idéal premier est (0) ; l'anneau de polynômes k[x1,...,xn] sur un corps a dimension de Krull n, correspondant à des chaînes appropriées après localisation. ## Mauvaise application Mauvaise application Employer la dimension de Krull sans distinguer les pathologies en dehors du cadre noethérien (où les hauteurs peuvent se comporter mal) ou confondre la dimension de Krull avec la dimension en tant qu'espace vectoriel d'un module sans vérifier le contexte. ## Conséquence Conséquence La dimension de Krull commande les raisonnements par induction sur la dimension en géométrie algébrique et algèbre commutative, influence la profondeur et les invariants homologiques, et contraint les chaînes d'idéaux premiers et les composantes irréductibles. ## Inversion Inversion Au lieu du supremum des chaînes de premiers, considérer des mesures de dimension homologique (dimension projective/globale) qui reflètent la longueur des résolutions et la complexité homologique plutôt que la géométrie des chaînes de premiers. ## Limite Limite Définie pour les anneaux commutatifs et les schémas ; en dehors du cadre noethérien la dimension peut être infinie ou contre-intuitive, et la dimension de Krull n'est pas un invariant fin pour les modules ou les anneaux non commutatifs sans adaptations. ## Tension sémantique Tension sémantique La dimension de Krull entre en tension avec les dimensions topologique, homologique et combinatoire : elle capture l'empilement d'idéaux premiers (taille algébro-géométrique), tandis que les dimensions homologiques mesurent la complexité des résolutions et la dimension de recouvrement la stratification topologique. ## Synthèse Synthèse La dimension de Krull est la longueur suprême des chaînes d'idéaux premiers (ou de fermés irréductibles) dans une structure algébrique commutative, faisant le lien entre chaînes algébriques et dimension géométrique et guidant les arguments structuraux et homologiques, sous réserve de précautions hors du cadre noethérien ou non commutatif.