##  [Affectation de Vérité](/fr/node/61496) 

 Définition

Une application v d'un corps ou d'un anneau vers un groupe abélien totalement ordonné (souvent R∪{∞} ou Z∪{∞}) qui mesure taille ou divisibilité, est multiplicative (v(xy)=v(x)+v(y) en notation additive) et satisfait une inégalité triangulaire adaptée v(x+y) ≥ min(v(x),v(y)) dans le cas non archimédien.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Attribuer à chaque élément un ordre d'annulation ou une magnitude compatible avec la multiplication et une inégalité additive relâchée, codant ainsi le comportement local par rapport à une place, une valuation ou un idéal premier choisi.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Sur Q, la valuation p-adique vp vérifie vp(p^k * a/b)=k lorsque a,b sont entiers non divisibles par p ; pour les séries formelles k((t)) la t-adique envoie t^n sur n et les sommes satisfont la règle du minimum.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer une valeur absolue archimédienne comme si elle respectait l'inégalité non archimédienne ou traiter une valuation comme toute fonction de taille sans vérifier la multiplicativité et l'inégalité requise.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une valuation induit un anneau de valuation, un idéal maximal formé des éléments de valeur positive, des corps résiduels et des complétions ; elle organise des principes local-vers-global et contrôle convergence, filtrations de divisibilité et ramification.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer la valuation par une valeur absolue obéissant à l'inégalité triangulaire usuelle (archimédienne) qui mesure la taille de façon continue mais ne donne pas la filtration discrète de divisibilité utile en arithmétique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Les valuations exigent un codomaine totalement ordonné et une compatibilité multiplicative ; elles diffèrent techniquement des valeurs absolues, normes et places et sont généralement locales — toute fonction de taille n'est pas une valuation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La valuation se situe entre valeurs absolues, normes et fonctions d'ordre : comme une valeur absolue elle mesure la taille, mais contrairement aux normes archimédiennes elle satisfait souvent l'inégalité non archimédienne forte, produisant une filtration discrète liée à la divisibilité algébrique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une valuation est une assignation multiplicative et ordonnée de « taille » ou de divisibilité à des éléments, satisfaisant une condition triangulaire adaptée ; elle définit des anneaux de valuation et des filtrations capturant la géométrie locale, la convergence et le comportement arithmétique.