##  [Déterminant](/fr/node/61486) 

 Définition

Un invariant scalaire polynomial associé à une matrice carrée ou un endomorphisme, qui indique si l'application linéaire est inversible et comment elle met à l'échelle les volumes orientés.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le déterminant est la fonction multilinéaire alternée unique des colonnes (ou des lignes) normalisée par la valeur 1 sur l'identité ; il vérifie det(AB)=det(A)det(B) et change de signe lors de l'échange de deux lignes (ou colonnes).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une matrice 2×2 [[a,b],[c,d]] le déterminant vaut ad−bc ; géométriquement, la valeur absolue du déterminant d'une matrice 2×2 ou 3×3 est l'aire ou le volume de l'image du carré/unité ou du cube/unité par l'application linéaire.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser le déterminant comme mesure de norme d'opérateur ou interpréter un déterminant petit mais non nul comme garantie de stabilité numérique sans tenir compte du conditionnement ; appliquer des formules de déterminant à des matrices non carrées comme s'il s'agissait d'un déterminant ordinaire plutôt que d'un pseudo-déterminant.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Si det(A)≠0 alors A est inversible ; les déterminants se multiplient pour les compositions et enregistrent la mise à l'échelle multiplicative des volumes et l'inversion éventuelle d'orientation ; det(I)=1 normalise la notion.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser le concept : det(A)=0 implique que A est singulière et écrase certains vecteurs non nuls en zéro, réduisant la dimension de l'image ; changer le signe du déterminant correspond à une inversion d'orientation de l'image.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini proprement pour les matrices carrées et les endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie ; sur des anneaux commutatifs généraux il faut être prudent (les diviseurs de zéro gênent l'inversibilité) ; pas directement défini pour les opérateurs non carrés — on utilise des pseudo-déterminants ou le déterminant de Fredholm en dimension infinie.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le déterminant versus le permanent et versus les valeurs singulières : le déterminant est multiplicatif et sensible au signe (orientation) et reflète l'inversibilité algébrique, tandis que le permanent n'a pas de signe et les valeurs singulières mesurent la mise à l'échelle métrique (orthogonale).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le déterminant est l'invariant scalaire canonique d'une transformation linéaire carrée qui consigne de façon multiplicative la mise à l'échelle des volumes et de l'orientation, et dont l'annulation est précisément l'obstruction algébrique à l'inversibilité.