##  [Endomorphisme](/fr/node/61465) 

 Définition

Un homomorphisme d'un objet sur lui‑même dans une catégorie donnée ; il préserve la structure définissante mais n'est pas nécessairement inversible.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les endomorphismes sont des auto‑applications préservant la structure, fermées par composition et contenant l'identité ; ils forment un monoïde (souvent un anneau ou une algèbre en contexte linéaire).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Les endomorphismes linéaires d'un espace vectoriel V sont des applications linéaires V→V ; End(V) est une algèbre pour l'addition et la composition. Les endomorphismes d'un anneau R sont des homomorphismes R→R, par exemple l'endomorphisme de Frobenius en caractéristique p.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer toute application d'ensemble comme un endomorphisme sans vérifier les propriétés d'homomorphisme, ou supposer qu'un endomorphisme est forcément inversible et donc un automorphisme.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les endomorphismes permettent l'itération, la théorie spectrale, la décomposition (p. ex. forme de Jordan) et des structures de module ; ils engendrent des monoïdes et algèbres utiles en théorie des représentations et des invariants.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un automorphisme inverse la relaxation en exigeant l'inversibilité ; l'antithèse met en lumière lorsque l'on impose une structure supplémentaire (l'inverse) à un endomorphisme.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Restreint aux auto‑morphismes dans la catégorie spécifiée ; exclut les morphismes entre objets distincts et les applications qui ne respectent pas les opérations ou relations choisies.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre la vue des endomorphismes comme « auto‑applications » (perspective d'ensemble) et comme homomorphismes algébriques ; oublier les contraintes algébriques les confond avec des auto‑applications arbitraires.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un endomorphisme est la transformation interne catégorique d'un objet : un auto‑homomorphisme formant un monoïde par composition et encodant dynamique, décomposition et structure algébrique.