##  [Algèbre de Lie](/fr/node/61461) 

 Définition

Une algèbre de Lie est un espace vectoriel g sur un corps muni d'un crochet bilinéaire [·,·]: g×g → g antisymétrique ([x,y] = −[y,x]) et vérifiant l'identité de Jacobi [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]] = 0, codant des symétries infinitésimales.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Commutation infinitésimale : le crochet mesure la non-commutativité d'ordre un d'un objet de type groupe local ; linéarité, antisymétrie et Jacobi organisent les contraintes algébriques sur les commutateurs.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'ensemble des matrices n×n avec crochet [A,B]=AB−BA est une algèbre de Lie ; l'espace tangent en l'identité d'un groupe de Lie matriciel fournit une algèbre de Lie décrivant ses générateurs infinitésimaux. Par exemple, so(3) des matrices antisymétriques 3×3 code l'algèbre du moment angulaire.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser le crochet commutateur d'une algèbre associative sans vérifier la clôture (le commutateur peut sortir d'un sous-espace) ou ignorer les problèmes de caractéristique lorsque le corps a petite caractéristique première ; considérer tout produit bilinéaire antisymétrique comme crochet de Lie sans vérifier Jacobi est une erreur.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les algèbres de Lie classifient les symétries locales et engendrent des représentations via des modules ; leur théorie de structure (soluble, semi-simple, radical, facteurs simples) et les algèbres enveloppantes universelles relient représentation et théorie des invariants.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer le crochet antisymétrique par un produit associatif : l'attention passe de la symétrie infinitésimale et des commutateurs à la structure multiplicative, perdant les propriétés de dérivation contrôlées par Jacobi.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Généralement définie sur un corps ; en caractéristique positive surviennent des phénomènes supplémentaires (algèbres de Lie restreintes, torsion p) ; toute algèbre non associative n'est pas une algèbre de Lie — Jacobi doit être satisfaite. La correspondance groupe de Lie–algèbre de Lie demande des hypothèses analytiques (ex. connexité, caractéristique zéro) pour une réciproque complète.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Algèbre de Lie vs groupe de Lie : la première est la linéarisation algébrique d'un groupe de symétries ; algèbre de Lie vs algèbre associative : les commutateurs issus d'algèbres associatives donnent des crochets de Lie mais l'absence d'associativité conduit à d'autres outils structurels.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une algèbre de Lie est l'objet linéaire qui encode les symétries infinitésimales par un crochet bilinéaire antisymétrique satisfaisant Jacobi, servant de pendant algébrique aux groupes continus de transformations.