##  [Semi-Groupe](/fr/node/61449) 

 Définition

Un ensemble muni d'une opération binaire associative mais ne possédant pas nécessairement d'élément neutre ni d'inverses.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les semi-groupes n'exigent que l'associativité et la clôture ; en affaiblissant les exigences d'identité et d'inversibilité ils décrivent la concaténation et la composition itérative sans présumer de neutralité ou de réversibilité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'ensemble des mots finis non vides muni de la concaténation est un semi-groupe : la concaténation est associative mais il n'y a pas d'élément neutre dans l'ensemble des mots non vides ; de même, les entiers positifs pour la multiplication (excluant 1) forment un semi-groupe.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer l'existence d'un neutre dans un semi-groupe alors qu'il n'en existe pas conduit à des factorisations incorrectes ; de même, présumer l'existence d'inverses entraîne des résolutions d'équations fallacieuses et des erreurs structurelles.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'associativité suffit à rendre les produits de suites finies d'éléments non ambigus et autorise l'étude des puissances, des idempotents et des relations de Green ; on peut adjoindre un neutre pour former un monoïde si nécessaire.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Adjoindre un neutre bilatéral donne un monoïde ; exiger des inverses pour tous les éléments donne un groupe ; supprimer l'associativité conduit à des magmas et autres systèmes non associatifs.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Concerne les structures à une opération associative sans exiger identité ni inverses ; exclut les systèmes algébriques à plusieurs opérations, les magmas non associatifs et les compositions partiellement définies.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Semi-groupe vs Monoïde : un semi-groupe peut manquer d'identité alors qu'un monoïde en possède ; semi-groupe vs catégorie : les semi-groupes abstraient la composition sans la structure d'objets des catégories ; objet monoïde dans une catégorie monoïdale introduit des variantes de niveau supérieur.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un semi-groupe est le cadre algébrique associatif minimal qui saisit l'idée de composition séquentielle et d'application répétée, servant de base pour construire des monoïdes et groupes en adjoignant neutre ou inverses.