## [Punto No-Variedad](/es/node/63229) Definición Un punto x en un espacio topológico X para el cual ningún vecindario de x es homeomorfo a ningún espacio euclidiano R^n (o a un semiespacio R^n_+) de dimensión fija; equivalentemente, x es un fallo local de la estructura de variedad que impide disponer de un único modelo de carta local. ## Principio Principio Una variedad exige vecindarios locales uniformemente euclidianos (o semieuclidianos para puntos del borde); un punto no-variedad viola esa uniformidad a escala local y bloquea la existencia de un atlas que haga a X una variedad. ## Demostración Demostración El vértice de un cono en dimensión 2 es un punto no-variedad del cono considerado como subespacio de R^3: todo vecindario del vértice es homeomorfo a un vecino con forma de cono, no a un disco abierto de R^2, por lo que no existe una carta de dimensión 2 allí. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar punto de variedad a toda singularidad aislada o punto de ramificación porque pertenece a un conjunto que por lo demás es variedad; tratar erróneamente un vértice de un grafo embebido en el plano como punto de variedad y aplicar teoremas de variedades que requieren cartas locales euclidianas. ## Consecuencia Consecuencia Las herramientas topológicas y diferenciales que dependen de estructura local euclidiana fallan en el punto: no hay carta local, los invariantes como el espacio tangente no están definidos, y los teoremas de extensión o clasificación propios de variedades pueden no aplicarse. ## Inversión Inversión Punto de variedad: un punto cuyo vecindario es homeomorfo a R^n (o R^n_+ para un punto de borde), permitiendo la existencia de cartas locales y el aparato habitual de las variedades. ## Límite Límite Se aplica a puntos en espacios topológicos generales o subconjuntos de espacios euclidianos; excluye puntos que admiten algún vecindario euclidiano o semieuclidiano. No determina por sí sola la naturaleza global de las singularidades más allá del fallo local de cartas. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión está entre 'singularidad' entendida como irregularidad geométrica o analítica y 'no-variedad' como ausencia puramente topológica de cartas euclidianas locales; algunas singularidades analíticas pueden ser puntos de variedad topológica, y algunos puntos no-variedad pueden tener descripciones analíticas relativamente suaves. ## Síntesis Síntesis Un punto no-variedad es una obstrucción local a la estructura de variedad: sus vecindarios no se modelan sobre espacios euclidianos de ninguna dimensión fija, por lo que la teoría de variedades basada en cartas locales no se puede aplicar allí.