##  [Teoría de Smith](/es/node/63178) 

 Definición

Conjunto de resultados en topología equivarante y topología algebraica que analizan la estructura homológica (especialmente modulo p) de los conjuntos de puntos fijos de mapas periódicos y acciones de p‑grupos sobre espacios, proporcionando fuertes restricciones sobre la homología de los conjuntos de fijos en relación con el espacio ambiente.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Para una acción de un grupo cíclico de orden p (o más generalmente de un p‑grupo) sobre un complejo CW finito o una variedad, la homología mod p del conjunto de puntos fijos está muy controlada — por ejemplo, si el espacio ambiente es mod p acíclico, entonces también lo es el conjunto fijo; el mecanismo organizador es el uso del transfer, las sucesiones espectrales y la localización en el primo p.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Si Z/p actúa celularmente sobre un complejo CW finito X con H_*(X; Z/p) ≅ 0 (acíclico modulo p), la teoría de Smith implica que el conjunto fijo X^{Z/p} tiene H_*(X^{Z/p}; Z/p) ≅ 0 también; en el caso clásico de un p‑grupo actuando sobre una esfera, el conjunto fijo tiene la homología modulo p de una esfera de alguna dimensión (posiblemente vacío).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Extraer conclusiones de homología o cohomología enteras a partir de los enunciados modulo p de Smith, aplicar conclusiones válidas para acciones de p‑grupos a acciones cuyo orden tiene varios factores primos, o ignorar hipótesis de finitud/tameness conduce a inferencias inválidas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Smith theory ofrece restricciones potentes sobre acciones de grupos posibles en variedades y complejos, limita la topología de los conjuntos fijos y alimenta resultados de clasificación y obstrucción en teoría de transformaciones y topología equivarante; también motiva técnicas de localización equivarante.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Cuando las acciones son libres (sin puntos fijos), las restricciones de Smith son inanes; la inversión destaca la dicotomía entre acciones libres (con estructuras cociente) y acciones periódicas con conjuntos fijos potencialmente ricos y restringidos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica principalmente a acciones de p‑grupos (o grupos cíclicos de orden p) sobre complejos CW finitos o variedades y a conclusiones sobre homología con coeficientes Z/p; no proporciona información integral directa ni se aplica sin condiciones de finitud, tameness o properidad.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre la teoría de Smith y otras herramientas equivariantes como la localización de Borel, la cohomología equivarante y los métodos de sucesiones espectrales: Smith ofrece restricciones homológicas localizadas en primos que pueden parecer estar en tensión con afirmaciones formuladas integralmente o en otras teorías cohomológicas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La Teoría de Smith impone restricciones algebraicas localizadas en el primo p sobre los conjuntos fijos de acciones periódicas y de p‑grupos relacionando la homología modulo p del espacio ambiente con la del conjunto fijo mediante ideas de transfer y localización, restringiendo así fuertemente las topologías de puntos fijos admisibles en contextos equivariantes.