## [Teorema de Extensión de Isotopía](/es/node/63170) Definición Resultado de topología geométrica que afirma que, bajo hipótesis adecuadas de regularidad y compacidad, cualquier isotopía de un subespacio o subvariedad dentro de una variedad se extiende a una isotopía ambiente de la variedad entera; es decir, una deformación de la inclusión puede realizarse por una deformación de la identidad ambiente con soporte en un vecindario del subespacio. ## Principio Principio Una isotopía de una subvariedad embebida puede promoverse a una isotopía ambiente mediante el uso de un vecindario tubular y el flujo de un campo vectorial dependiente del tiempo que haga coincidir la inclusión en cada instante con la imagen de la inclusión inicial por un difeomorfismo/homeomorfismo ambiente. La idea organizadora es la trivialidad local del fibrado normal y el control del soporte compacto. ## Demostración Demostración Sea S^1 embebido suavemente en R^3. Una isotopía suave del círculo que lo mueve mediante embebimientos puede extenderse a una isotopía suave de R^3 que es la identidad fuera de un pequeño vecindario tubular del círculo en movimiento: se construye un campo vectorial dependiente del tiempo, soportado en ese vecindario, cuyo flujo realiza el movimiento prescrito. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que el teorema vale para embebimientos salvajes, soportes no compactos sin control de propriedad, o aplicar sin cuidado un argumento suave en el marco puramente topológico conduce a conclusiones erróneas; asimismo, intentar la extensión sin asegurar un vecindario tubular o un fibrado normal puede fracasar. ## Consecuencia Consecuencia Se obtiene la invariancia por isotopía ambiente de invariantes de tipo embebimiento y la capacidad de elevar manipulaciones locales de subvariedades a difeomorfismos/homeomorfismos ambientes globales; esto sustenta la clasificación parametrizada de embebimientos y muchas demostraciones que relacionan equivalencias locales con equivalencias ambientes. ## Inversión Inversión Restringir una isotopía ambiente a un subespacio produce una isotopía del subespacio; la inversión enfatiza que las isotopías ambientes contienen más datos y que la existencia de una isotopía del subespacio no basta para recuperar la información ambiente sin hipótesis de extensión. ## Límite Límite Se aplica en las categorías (suave, PL, topológica) cuando las embebiciones son manejables, cuando el subespacio tiene un vecindario modelado por un fibrado normal o un vecindario regular, y típicamente cuando las isotopías tienen soporte compacto; excluye embebimientos salvajes, ciertas situaciones no localmente planas y contextos ambientes no compactos sin hipótesis de properidad. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión surge entre la isotopía ambiente y nociones más débiles como la concordancia o la mera homotopía de la inclusión; resultados relacionados incluyen el truco de Alexander (casos en discos) y las variantes de extensión de isotopía según la categoría considerada. ## Síntesis Síntesis El Teorema de Extensión de Isotopía concreta cómo elevar una deformación controlada de una subvariedad a una deformación controlada del entorno completo mediante la estructura local de vecindario y el control del soporte, conectando así el movimiento geométrico local con transformaciones ambientes globales.