## [Teorema Jordan–Schoenflies](/es/node/63164) Definición Un fortalecimiento del teorema de la curva de Jordan: una curva cerrada simple en el plano divide el plano en 'interior' y 'exterior', y además la componente acotada (el interior) es homeomorfa a un disco cerrado; la curva es ambientemente isotópica en el plano a un círculo euclidiano estándar. ## Principio Principio La regularidad topológica de los empotramientos de S1 en R2 implica no solo separación sino también la estandaridad de la región acotada cuando la curva es simple: toda curva cerrada simple plana limita una región topológicamente equivalente a un disco y puede deformarse a un círculo por una isotopía ambiente continua. ## Demostración Demostración Dada una curva poligonal cerrada simple en R2, se puede triangular el plano y usar topología pieza‑lineal para mostrar que la región acotada es contractible a un disco; se puede construir una isotopía ambiente explícita que deforma el polígono a un círculo redondo llevando el complemento de forma coherente. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que el teorema se mantiene tal cual en dimensiones superiores: los empotramientos de Sn−1 en Rn no tienen por qué ser estándar (existen empotramientos 'salvajes'), por lo que la conclusión de Schoenflies no se generaliza automáticamente para n>2 sin hipótesis adicionales (por ejemplo, suavidad o tameness). ## Consecuencia Consecuencia Proporciona una clasificación precisa de curvas cerradas simples en el plano hasta isotopía ambiente y fundamenta muchos argumentos de cirugía y clasificación plana; asegura que los 'agujeros' planares limitados por curvas simples son de tipo disco y manipulables por isotopías. ## Inversión Inversión La inversa — si una región acotada es homeomorfa a un disco entonces su frontera es una curva cerrada simple — se cumple, pero la parte fuerte de isotopía ambiente puede fallar en dimensiones superiores. Además, una curva cerrada simple salvaje puede separar sin ser isotópica ambiente a un círculo estándar si se omiten hipótesis de tameza. ## Límite Límite Se aplica a curvas cerradas simples (de una sola componente, sin auto‑intersecciones) embebidas en el plano; excluye curvas con auto‑intersecciones, empotramientos en dimensiones superiores sin regularidad adicional y situaciones donde el complemento tenga topología patológica (componente acotada no simplemente conexa). ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre empotramientos puramente topológicos y las categorías PL o suaves: en PL/suave las isotopías son más directas, mientras que en la categoría topológica fenómenos salvajes complican las generalizaciones; también tensión entre la mera separación (Jordan) y la afirmación más fuerte de isotopía ambiente (Schoenflies). ## Síntesis Síntesis El Teorema Jordan–Schoenflies mejora la imagen de separación de Jordan: cualquier curva cerrada simple en el plano no solo separa el plano, su componente acotada es un disco topológico y la curva puede deformarse por isotopía ambiente a un círculo estándar, dando una descripción topológica completa de las curvas simples planas y sus interiores.