## [Compacidad Numerable](/es/node/63142) Definición Propiedad topológica: un espacio es compactamente numerable si toda cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita; equivalentemente (bajo las hipótesis de separación habituales) todo subconjunto numerablemente infinito tiene un punto de acumulación. ## Principio Principio Cubiertas numerables o subconjuntos numerables bastan para probar una forma atenuada de compacidad: se restringe la exigencia de compacidad a familias numerables para medir la tendencia del espacio a permitir una 'fuga' de puntos de forma numerable. ## Demostración Demostración El espacio [0,ω1) (la primera ordinal no numerable con la topología de orden) es compacto numerable pero no compacto; todo subconjunto numerable tiene supremo ordinal menor que ω1 y por tanto un punto de acumulación, mientras que existe una cubierta abierta no numerable sin subcubierta finita. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir la compacidad numerable con la compacidad secuencial en espacios arbitrarios; suponer que un espacio numerablemente compacto es compacto sin comprobar cubiertas no numerables o axiomas de separación. ## Consecuencia Consecuencia Cuando se satisface, permite sustituir argumentos de compacidad por argumentos que solo usan subcubiertas numerables o puntos de acumulación de subconjuntos numerables, simplificando demostraciones donde falla la compacidad plena pero se mantiene la compacidad numerable. ## Inversión Inversión La negación produce espacios que admiten una cubierta abierta numerable sin subcubierta finita o un subconjunto numerablemente infinito sin punto de acumulación; ejemplos métricos familiares dan contraejemplos explícitos. ## Límite Límite Se aplica a espacios topológicos; las equivalencias con la formulación por puntos de acumulación requieren hipótesis T1 o similares. Es estrictamente más débil que la compacidad general y no comparable con la compacidad secuencial sin hipótesis adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión semántica con la compacidad secuencial y la compacidad por puntos límite: las nociones difieren en general, coinciden bajo hipótesis adicionales (por ejemplo, en espacios métricos o con primera numerabilidad) pero pueden divergir en topologías exóticas. ## Síntesis Síntesis La compacidad numerable aísla el comportamiento de compacidad visible mediante familias o subconjuntos numerables: garantiza que no haya fuga numerable de puntos a la vez que admite fallos que solo se manifiestan a escala no numerable.