## [Contracción de Arista](/es/node/63120) Definición Una operación en un complejo celular, grafo o complejo simplicial que identifica los dos extremos de una arista y elimina esa arista (y las celdas degeneradas resultantes), produciendo un nuevo complejo con estructura combinatoria y posiblemente topológica alterada. ## Principio Principio Simplificar la estructura combinatoria colapsando una arista en un punto, reduciendo el número de celdas mientras se controla cómo cambian las relaciones de incidencia y se registran los efectos sobre homotopía u homología cuando esté permitido. ## Demostración Demostración En un complejo simplicial, contraer una arista cuyo enlace cumple la condición de enlace (de modo que no se generen identificaciones ilegales) produce un complejo homotópicamente equivalente; en teoría de grafos, contraer una arista fusiona sus dos vértices y actualiza la adyacencia, uso habitual en operaciones de menores. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Contraer una arista sin comprobar condiciones locales puede crear identificaciones que cambien la topología (introducir lazos, puntos de pinzamiento o cambiar el tipo de homotopía) o producir estructuras no simpliciales; contraer a ciegas en categorías PL o suaves puede destruir propiedades de variedad. ## Consecuencia Consecuencia Cuando se aplica respetando condiciones combinatorias o de enlace, la contracción de aristas produce modelos más simples que preservan el tipo de homotopía o los menores de grafos, facilitando pruebas inductivas y reducciones algorítmicas; mal aplicada puede alterar invariantes de forma irreversible. ## Inversión Inversión La operación inversa es una subdivisión de arista o expansión estelar, que no es única: muchas expansiones pueden restaurar aristas de maneras distintas, por lo que la contracción pierde detalle combinatorio y no es generalmente invertible de forma única. ## Límite Límite Definida en complejos combinatorios y grafos con condiciones locales cuidadosas; excluye contracciones en espacios topológicos arbitrarios sin control combinatorio, y contracciones que violen restricciones de variedad o PL cuando esas estructuras deben preservarse. ## Tensión semántica Tensión semántica Próxima a las operaciones de colapso y colapso elemental pero distinta en alcance: el colapso es una equivalencia de homotopía que elimina una cara libre, mientras que la contracción puede identificar vértices y se utiliza en teoría de menores; existe tensión entre la simplificación algorítmica y la preservación de la estructura geométrica fina. ## Síntesis Síntesis La contracción de arista es la operación combinatoria de identificar los extremos de una arista y eliminar las degeneraciones resultantes para simplificar complejos o grafos, potente para reducción y formación de menores cuando las condiciones locales de enlace y estructura aseguran la preservación de invariantes topológicos deseados.