##  [Producto Smash](/es/node/63116) 

 Definición

Para espacios apuntados (X,x0) y (Y,y0), el producto smash X ∧ Y es el cociente del producto X × Y obtenido al colapsar el wedge X ∨ Y (es decir, X × {y0} ∪ {x0} × Y) a un único punto base; es un análogo apuntado del producto reducido para espacios.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Combinar espacios apuntados forzando que cualquier factor que sea el punto base colapse, produciendo un producto reducido que tiene buen comportamiento en contextos de homotopía estable y suspensiones.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Si S^m y S^n son esferas basadas en un punto, entonces S^m ∧ S^n es homeomorfo a S^{m+n}; el producto smash sustenta el isomorfismo de suspensión Σ(X ∧ Y) ≅ (ΣX) ∧ Y ≅ X ∧ (ΣY) en categorías estables.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Colapsar un subespacio incorrecto (por ejemplo, olvidar colapsar las copias del punto base de ambos factores) o aplicar el smash a espacios no apuntados sin elegir y controlar puntos base conduce a resultados ambiguos o erróneos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando se usa correctamente, el smash es la operación monoidal en categorías de homotopía apuntadas, preserva relaciones de suspensión y convierte teorías de cohomología reducida en estructuras de anillo o módulo graduado mediante emparejamientos cup y smash.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

No existe una operación inversa única: descomponer un espacio Z como producto smash X ∧ Y es altamente no único y, en general, imposible sin estructura adicional como descomposiciones en co‑H‑espacios.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere puntos base bien especificados y la formación de un cociente; no está definido intrínsecamente para espacios no apuntados salvo que se añada un punto base, y las propiedades homotópicas estándar suponen modelos localmente adecuados (CW).

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Próximo al producto cartesiano y al wedge pero distinto: el smash es la reducción apuntada del producto después de colapsar el wedge, mientras que el wedge es el coproduto en categorías apuntadas; a veces se confunde con el producto no reducido o con tensores análogos en otras categorías.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El producto smash es el cociente apuntado del producto que colapsa los factores que contienen el punto base, funcionando como el producto monoidal adecuado en homotopía apuntada y permitiendo construcciones estables como la suspensión, la multiplicación de esferas y los emparejamientos en (co)homología reducida.