## [Cobordismo](/es/node/63106) Definición Una relación entre variedades cerradas de dimensión n: dos variedades cerradas M y N de dimensión n son cobordantes si existe una variedad compacta de dimensión n+1, W, cuyo borde es la unión disjunta ∂W ≅ M ⨿ N (teniendo en cuenta orientaciones en la categoría orientada). ## Principio Principio El cobordismo organiza las variedades en clases de equivalencia al admitir una variedad de dimensión una mayor que 'interpola' entre ellas mediante su borde; es una relación de equivalencia y conduce a estructuras algebraicas (grupos de cobordismo) bajo la unión disjunta y la operación de borde. ## Demostración Demostración La circunferencia S^1 es cobordante con el vacío en dimensión 1 porque el disco D^2 es una variedad compacta de dimensión 2 con borde ∂D^2 = S^1, por lo que S^1 es nulo-cobordante. En la categoría orientada hay que comprobar la compatibilidad de las orientaciones. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Interpretar cobordismo como homeomorfismo o difeomorfismo — las variedades cobordantes no tienen por qué ser homeomorfas ni difeomorfas; el cobordismo es una equivalencia más débil que permite el paso por un interpolante de dimensión n+1. ## Consecuencia Consecuencia Las clases de cobordismo forman grupos abelianos graduados bajo la unión disjunta; muchos invariantes globales (números de Stiefel–Whitney, números de Pontryagin en categorías apropiadas) obstruyen ser nulo-cobordante, de modo que calcular cobordismo aporta información profunda de clasificación. ## Inversión Inversión La visión inversa enfatiza ser borde: una variedad es nulo-cobordante si aparece como el borde total de una variedad compacta de dimensión superior; invertir la relación intercambia los papeles de las dos componentes del borde de la variedad de cobordismo. ## Límite Límite El cobordismo estándar trata con variedades cerradas (compactas, sin borde); existen variantes que incluyen cobordismo con borde, cobordismo de variedades con estructuras adicionales (orientación, trivialización, estructura compleja), y cobordismo relativo — cada variante impone restricciones adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Cobordismo versus homología u equivalencia por homotopía: el cobordismo es independiente del tipo de homotopía simple y puede relacionar variedades con diferentes tipos de homotopía; es más grueso que el homeomorfismo pero más fino que relaciones ingenuas y interactúa sutilmente con clases características. ## Síntesis Síntesis El cobordismo registra cuándo dos variedades cerradas de dimensión n tienen el mismo interpolante compacto de dimensión n+1 como borde; define una relación de equivalencia sensible a estructuras adicionales, da lugar a invariantes algebraicos calculables y organiza la clasificación mediante interpolantes de una dimensión superior.