## [Cohomología Étale](/es/node/63065) Definición Una teoría de cohomología de haces en el sitio étale de un esquema que asigna invariantes cohomológicos a esquemas y variedades, enlazando geometría algebraica, aritmética y análogos de la cohomología topológica (por ejemplo, cohomología l-ádica y teoremas de comparación). ## Principio Principio Sustituir el sitio topológico clásico por la topología de Grothendieck étale para que los fenómenos localmente constantes y de torsión se capten algebraicamente; la functorialidad, el cambio de base y los funtores derivados producen sucesiones exactas largas, sucesiones espectrales y isomorfismos de comparación. ## Demostración Demostración Para una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo finito, sus grupos de cohomología étale l-ádicos llevan acciones de Frobenius cuyas trazas determinan el recuento de puntos y satisfacen las conjeturas de Weil; H^2_et(X,G_m) contiene el grupo de Brauer cohomológico usado en obstrucciones a puntos racionales. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar sin precaución intuiciones de la cohomología singular (por ejemplo esperar dualidad de Poincaré sin hipótesis), o usar límites l-ádicos sin verificar que l sea invertible en la base conduce a errores; tratar haces no constructibles como si fueran sistemas locales también es engañoso. ## Consecuencia Consecuencia La cohomología étale proporciona el marco cohomológico adecuado para invariantes aritméticos, la comparación con la cohomología de Betti sobre C, las representaciones l-ádicas del grupo de Galois y herramientas como las aplicaciones clase de ciclo y los teoremas de dualidad esenciales en la geometría aritmética moderna. ## Inversión Inversión Volver a la cohomología topológica clásica (Betti) para bases no complejas hace perder la estructura aritmética; a la inversa, trabajar solo con cohomología étale en situaciones analíticas oscurece rasgos trascendentes captados por la topología compleja. ## Límite Límite Más adecuada para esquemas y coeficientes que sean torsión o l-ádicos con l invertible en la base, y para haces constructibles; no sustituye a la cohomología cristalina en característica p para coeficientes p-ádicos ni maneja automáticamente la ramificación salvaje sin refinamientos. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se contrasta con la cohomología singular/Betti, la cohomología cristalina y la cohomología de de Rham; cada teoría captura información solapada pero distinta (topológica, p-ádica, algebraica), por lo que elegir la cohomología étale depende de coeficientes, campo base e invariantes deseados. ## Síntesis Síntesis La cohomología étale es la cohomología de haces diseñada para la geometría algebraica: al trabajar en el sitio étale y con coeficientes apropiados recupera la intuición topológica mientras codifica la acción aritmética y produce los invariantes centrales de la teoría de números moderna.