##  [Fórmula de Legendre](/es/node/62971) 

 Definición

Fórmula que da el exponente del primo p que divide n!: v_p(n!) = Σ_{k≥1} floor(n/p^k), es decir, la valoración p-ádica de n! es la suma de las partes enteras de n divididas por potencias sucesivas de p hasta que los términos se anulan.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Contar las contribuciones de múltiplos de p, p^2, p^3, … en n!: cada múltiplo de p aporta al menos un factor p, los múltiplos de p^2 aportan un factor extra, etc.; la suma de las partes enteras agrega exactamente estas contribuciones.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: para n=10 y p=2, v_2(10!) = floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8)+floor(10/16)+… =5+2+1+0+…=8, por lo que 2^8 divide 10! pero 2^9 no.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la suma infinita sin tomar las partes enteras o olvidar que los términos acaban siendo nulos; o intentar usar la fórmula para objetos distintos de factoriales (p. ej. productos binomiales arbitrarios) sin verificar la estructura combinatoria.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona un método eficiente y exacto para calcular valoraciones p-ádicas de factoriales, central en argumentos de divisibilidad, evaluación de valoraciones de coeficientes binomiales y en teoría p-ádica y combinatoria de números.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En lugar de sumar floor(n/p^k), se puede ver la valoración de forma combinatoria mediante el conteo de llevadas en la suma en base p (teorema de Kummer), ofreciendo una perspectiva dual: Legendre cuenta múltiplos, Kummer cuenta llevadas en la suma de índices binomiales.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

La fórmula se aplica a n! para enteros n≥0 y primos p; no se generaliza directamente a análogos factoriales no enteros ni a la valoración de secuencias enteras arbitrarias sin una descomposición combinatoria adecuada.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Relación estrecha y posible confusión con el teorema de Kummer y técnicas de valoración p-ádica: Legendre da una suma de partes enteras directa, mientras que Kummer caracteriza la valoración de coeficientes binomiales por las llevadas en base p, dos puntos de vista complementarios pero distintos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La Fórmula de Legendre expresa exactamente la valoración p-ádica de n! como la suma de los floors de n divididos por potencias de p, codificando el recuento de multiplicidades de potencias primas en factoriales y sirviendo como herramienta práctica de cálculo en divisibilidad e investigaciones p-ádicas.