## [Teorema de Roth](/es/node/62967) Definición Resultado fundamental en aproximación diofántica que establece que cualquier número algebraico irracional α no puede ser aproximado por racionales p/q de forma arbitrariamente buena: para todo ε>0 la desigualdad |α−p/q|<1/q^{2+ε} tiene solo finitos soluciones racionales p/q. Equivalente: el exponente de aproximación de un algebraico irracional es 2. ## Principio Principio Los algebraicos irracionales resisten aproximaciones racionales que superen el umbral cuadrático de Dirichlet; el teorema reduce el posible exponente de aproximación al valor diofántico mínimo 2, salvo un arbitrario ε positivo. ## Demostración Demostración Instancia concreta: para α=√2 y cualquier ε>0 fijado hay solo finitos racionales p/q con |√2−p/q|<1/q^{2+ε}, a diferencia de los números de Liouville que admiten infinitas aproximaciones extremadamente buenas. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar a Roth como efectivo, afirmando cotas explícitas o algoritmos para todas las aproximaciones suficientemente buenas; el método de Roth es inefectivo y no proporciona una cota computable de cuándo se agota el conjunto finito. ## Consecuencia Consecuencia Conduce a resultados de finitud para muchas desigualdades diofánticas y sustenta refinamientos posteriores y resultados de transferencia; distingue de forma nítida a los algebraicos irracionales de los transcendentales en la calidad de aproximación. ## Inversión Inversión Por contraste, los números trascendentes (y en particular los de Liouville) pueden aproximarse arbitrariamente bien por racionales, exhibiendo exponentes de aproximación mayores que 2 o incluso infinitos, con lo que la conclusión de Roth no vale para ellos. ## Límite Límite Se aplica únicamente a números algebraicos irracionales; no se aplica a números racionales (grado 1) ni directamente a trascendentes, y proporciona finitud pero no listas efectivas de excepciones. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la finitud cualitativa de Roth y los resultados efectivos: algunos teoremas de aproximación diofántica dan constantes explícitas (por ejemplo resultados de tipo Baker), mientras que Roth da el exponente óptimo sin constantes efectivas, situación que se confunde con frecuencia. ## Síntesis Síntesis El Teorema de Roth afirma que los algebraicos irracionales tienen exponente de aproximación diophántico igual a 2: admiten a lo sumo finitos racionales que superen el umbral 1/q^{2+ε}, una barrera cualitativa decisiva que separa el comportamiento algebraico del transcendente en aproximación.