## [Teorema de Euclides](/es/node/62955) Definición El teorema que afirma que existen infinitos números primos; probado clásicamente construyendo un nuevo entero a partir de cualquier lista finita de primos que produce un factor primo no contenido en la lista. ## Principio Principio La idea organizadora es una prueba por construcción que muestra que cualquier conjunto finito de primos puede ser ampliado: multiplicar los primos listados y sumar uno (o modificar de otro modo) fuerza la aparición de un nuevo factor primo, contradiciendo la finitud. ## Demostración Demostración Ejemplo concreto: dados los primos 2, 3, 5, su producto es 30 y 30 + 1 = 31, que es primo; por tanto la lista finita no contenía todos los primos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Uso indebido común es concluir que el número (producto + 1) debe ser siempre primo; en general puede ser compuesto pero aún así tiene factores primos exteriores a la lista original. ## Consecuencia Consecuencia Aplicado correctamente, el teorema establece la infinitud de los primos, fundamenta muchos resultados sobre la distribución de primos y sirve como herramienta básica para construir pruebas que requieren factores primos nuevos. ## Inversión Inversión La inversión afirmaría que un conjunto finito de primos basta para todos los enteros, lo que colapsaría la estructura aritmética; negar la construcción conduce a contradicción porque cualquier lista supuestamente máxima puede extenderse. ## Límite Límite Ámbito: se refiere a primos en los enteros; no proporciona información sobre la frecuencia con que aparecen (densidad), ni genera una secuencia explícita de todos los primos ni cotas ajustadas sobre los huecos. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre esta prueba constructiva elemental y enfoques analíticos (p. ej., el producto de Euler o el teorema de los números primos) que abordan densidad y comportamiento asintótico en lugar de mera existencia. ## Síntesis Síntesis El teorema de Euclides es la afirmación constructiva elemental de que los primos son inesgotables: de cualquier colección finita puede construirse un entero con divisores primos exteriores, probando la infinitud y dejando el estudio de la distribución a otros métodos.