## [Número de Carmichael](/es/node/62935) Definición Un entero compuesto n tal que para todo entero a coprimo con n se cumple a^{n−1} ≡ 1 (mod n); por tanto n se comporta como primo en la congruencia de Fermat para todas las bases coprimas con él. ## Principio Principio Reúne los módulos compuestos que pasan la prueba de primalidad de Fermat para cualquier base coprima; se caracteriza equivalemente por condiciones tipo Korselt (sin cuadrados y cada primo divisor p satisface p−1 | n−1). ## Demostración Demostración El ejemplo más pequeño es 561 = 3·11·17; para cualquier a coprimo con 561 se tiene a^{560} ≡ 1 (mod 561), por lo que 561 es un número de Carmichael y engañaría consistentemente una prueba de Fermat simple. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Referirse a cualquier pseudoprimo de Fermat (que puede satisfacer la congruencia para algunas bases pero no para todas) como Carmichael, o suponer que un número que verifica la congruencia para varias bases pequeñas es Carmichael sin comprobar todas las bases coprimas. ## Consecuencia Consecuencia Demuestra las limitaciones de las pruebas de primalidad ingenuas: la existencia de números de Carmichael obliga a usar pruebas deterministas o probabilísticas más fuertes; su distribución afecta la fiabilidad de las pruebas basadas en bases fijas. ## Inversión Inversión Los primos son la inversión: satisfacen la misma congruencia pero son genuinamente primos; otra inversión son compuestos que fallan la congruencia para algunas bases coprimas y por tanto son fácilmente distinguidos por pruebas de Fermat. ## Límite Límite Se define solo para enteros compuestos; exige que la congruencia se cumpla para todo entero coprimo con n. Excluye pseudoprimos de Fermat que verifican la congruencia sólo para un subconjunto de bases y excluye los primos. ## Tensión semántica Tensión semántica En tensión con nociones como pseudoprimo de Fermat, pseudoprimo de Euler y pseudoprimo fuerte; la tensión está entre el engaño universal respecto a todas las bases (Carmichael) y el engaño respecto a bases particulares (pseudoprimos). ## Síntesis Síntesis Un número de Carmichael es un entero compuesto y sin cuadrados cuya estructura multiplicativa fuerza la congruencia de Fermat para toda base coprima: un pseudoprimo universal que revela los límites de las pruebas de primalidad sencillas.