##  [Función Multiplicativa](/es/node/62897) 

 Definición

Una función multiplicativa es una función aritmética f con f(1)=1 y la propiedad f(mn)=f(m)f(n) siempre que m y n sean coprimos. Queda determinada por sus valores en potencias de primos.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La multiplicatividad reduce el comportamiento global a datos locales en potencias de primos: especificar f(p^k) para cada primo p y k ≥ 0 determina f en todos los enteros positivos mediante la factorización única.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

La función phi de Euler φ(n) es multiplicativa: φ(1)=1 y para una potencia de primo φ(p^k)=p^k-p^{k-1}; si m y n son coprimos, φ(mn)=φ(m)φ(n).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Asumir que f(mn)=f(m)f(n) para todos m,n sin la condición de coprimalidad confunde multiplicativa con completamente multiplicativa y puede provocar productos de Euler incorrectos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las funciones multiplicativas admiten factorizaciones en productos de Euler de sus series de Dirichlet cuando los coeficientes son multiplicativos, y su estudio suele reducirse a entender valores en potencias de primos y principios local-a-global.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La inversión es una función aritmética no multiplicativa o una función completamente multiplicativa (que fortalece la relación para todos los pares); las funciones aditivas contrastan sustituyendo la multiplicación por la adición en argumentos coprimos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida sobre los enteros positivos con la condición de coprimalidad crucial; no impone comportamiento en argumentos no coprimos más allá de la extensión multiplicativa desde las potencias de primos; hay que mantener la distinción con completamente multiplicativa.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se confunde con 'completamente multiplicativa' (f(mn)=f(m)f(n) para todos m,n) y con homomorfismos del monoid multiplicativo de N (que no es un grupo), por lo que las hipótesis deben ser precisas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una función multiplicativa es una aplicación aritmética determinada por sus valores en potencias de primos que se multiplica sobre enteros coprimos, permitiendo productos de Euler y análisis basado en la factorización prima en teoría multiplicativa de números.