## [Ideal Principal](/es/node/62887) Definición Un ideal de un anillo R generado por un solo elemento a en R, denotado (a), consistente en todos los múltiplos r·a (o a·r) con r en R. Los ideales principales son los más sencillos y son centrales en el estudio de dominios de ideales principales. ## Principio Principio La generación por un solo elemento comprime la estructura del ideal al comportamiento algebraico de un generador respecto de la multiplicación por elementos del anillo; en dominios donde todo ideal es principal, las preguntas ideálicas se reducen a la aritmética de elementos hasta unidades. ## Demostración Demostración En Z el ideal generado por 6 es (6) = 6Z, que contiene exactamente los enteros divisibles por 6. En el anillo de polinomios k[x] el ideal (x) consta de todos los polinomios con término constante cero. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que porque en ejemplos importantes los ideales son principales (como Z o k[x]) todos los ideales en cualquier anillo son principales; confundir 'ideal principal' con 'dominio de ideales principales' (propiedad del anillo). ## Consecuencia Consecuencia Cuando los ideales son principales muchas operaciones se simplifican: multiplicación de ideales, contención y máximos comunes se rastrean mediante generadores y unidades, y el grupo de clases es trivial en dominios donde todo ideal no nulo es principal. ## Inversión Inversión La situación opuesta son los ideales no principales que requieren múltiples generadores y cuyas propiedades de multiplicación e inversión pueden ser más complejas; tales ideales evidencian el fallo de un anillo en ser un PID. ## Límite Límite Un ideal principal es un ideal específico generado por un único elemento; la propiedad 'principal' se aplica a ideales concretos, mientras que 'dominio de ideales principales' es una propiedad global del anillo. En no conmutativo hay que distinguir ideales principales izquierdos y derechos. ## Tensión semántica Tensión semántica Ideal principal versus ideal generado por varios elementos: ambos son ideales, pero el primero admite un generador único a unidades de diferencia; ideal principal versus elemento generador: un mismo ideal puede tener distintos generadores que difieran por una unidad. ## Síntesis Síntesis Un ideal principal es el conjunto de todos los múltiplos de un elemento; cuando todo ideal es así, la teoría de ideales del anillo se reduce a la aritmética de elementos, mientras que los ideales no principales indican una estructura multiplicativa más rica.