## [Ideal](/es/node/62883) Definición Un subconjunto I de un anillo R que es un subgrupo aditivo de R y que está cerrado bajo multiplicación por elementos arbitrarios de R (r·x y x·r pertenecen a I para r en R y x en I). Los ideales codifican divisibilidad, congruencia y estructura de factorización del anillo ambiente y son los núcleos de homomorfismos de anillos. ## Principio Principio Un ideal organiza elementos que son indistinguibles según una relación de divisibilidad o congruencia; el cierre frente a la multiplicación asegura compatibilidad con la acción del anillo de modo que al tomar el cociente por el ideal se obtiene otro anillo. ## Demostración Demostración En los enteros Z, para un entero n el conjunto nZ = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} es un ideal: cerrado bajo suma y bajo multiplicación por cualquier entero; Z/nZ es el anillo cociente habitual de clases residuales módulo n. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar cualquier subgrupo aditivo de un anillo como ideal sin comprobar el cierre multiplicativo, o asumir que todo ideal es generado por un solo elemento en un dominio no principal. ## Consecuencia Consecuencia Dado un ideal propio I, el anillo cociente R/I está bien definido y las propiedades ideales (primo, maximal, primario) se traducen en propiedades algebraicas de ese cociente; los ideales primos corresponden a dominios íntegros en los cocientes y los ideales maximales a cuerpos. ## Inversión Inversión La noción invertida es un subconjunto S de R cerrado multiplicativamente, que se usa para localizar R; en lugar de colapsar elementos por adición, la localización invierte elementos y amplía el anillo. ## Límite Límite Aquí 'ideal' se usa en el sentido bilateral propio de anillos conmutativos con unidad; en anillos no conmutativos hay que distinguir ideales izquierdos, derechos y bilaterales. Un ideal no es un subanillo salvo que contenga 1, y los ideales en anillos con divisores de cero se comportan de forma distinta que en dominios íntegros. ## Tensión semántica Tensión semántica Ideal versus submódulo: todo ideal de R es un submódulo R de R, pero 'submódulo' es más general y puede no reflejar la absorción multiplicativa; ideal versus cociente: el ideal es el subconjunto, el cociente enfatiza la nueva estructura de anillo obtenida. ## Síntesis Síntesis Un ideal es un subgrupo aditivo de un anillo que absorbe la multiplicación por elementos del anillo, codificando congruencias y divisibilidades; permite formar cocientes y clasificar el comportamiento algebraico, con atención a las distinciones izquierda/derecha fuera del caso conmutativo.