## [Cross-Cap](/es/node/62850) Definición Un modelo local de inmersión de una superficie no orientable en el espacio tridimensional que muestra una autointersección unilaterales llamada cross-cap; representa la imagen local de un vecindario del plano proyectivo bajo una inmersión que identifica direcciones opuestas, produciendo un lugar doble característico. ## Principio Principio Surge de una inmersión de un parche local no orientable (por ejemplo un vecindario de un punto del plano proyectivo) en R^3; la inmersión es localmente de rango dos en general, pero la identificación de direcciones opuestas produce una autointersección transversal cuya topología local es unilaterales en lugar de terminar en un pinzamiento. ## Demostración Demostración Una inmersión de un pequeño disco con identificación que revierte la orientación puede producir una imagen local con una curva doble transversal donde la superficie tiene un solo lado; a diferencia del paraguas de Whitney, el lugar doble típicamente continúa en lugar de terminar en un punto de pinzamiento. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar cross-cap a toda autointersección unilaterales —por ejemplo etiquetar un paraguas de Whitney o una curva doble transversal arbitraria sin comprobar el comportamiento de inmersión y orientación— confunde fenómenos de inmersión relacionados pero distintos. ## Consecuencia Consecuencia Una cross-cap señala la no orientabilidad local de la superficie inmersa y restringe posibles incrustaciones e isotopías; es la obstrucción local para realizar una incrustación de dos caras del vecindario en el espacio tridimensional. ## Inversión Inversión Si la autointersección local termina en un punto de pinzamiento o surge de un germen de mapa con pérdida de rango en lugar de una inmersión con inversión de orientación, la singularidad no es una cross-cap sino más bien un paraguas de Whitney u otra singularidad tipo pinzamiento. ## Límite Límite Se refiere a inmersiones de superficies en el espacio tridimensional y modelos locales de parches no orientables; excluye fenómenos de autointersección puramente incrustados sin identificaciones que reviertan la orientación y singularidades de pinzamiento causadas por pérdida de rango. ## Tensión semántica Tensión semántica Comparte rasgos con el paraguas de Whitney y con inmersiones con curva doble transversal; la distinción semántica es que la cross-cap expresa la no orientabilidad local con un lugar doble continuo, mientras que el paraguas implica un pinzamiento terminal y pérdida de rango. ## Síntesis Síntesis La cross-cap es la manifestación local, desde la perspectiva de la inmersión, de la no orientabilidad en el espacio tridimensional: una identificación que revierte la orientación produce una autointersección unilaterales (lugar doble continuo) que impide una incrustación local de dos caras.