##  [Teorema de Pick](/es/node/62780) 

 Definición

Para un polígono simple en el plano cuyos vértices son puntos de la red entera, el teorema de Pick expresa el área euclidiana A como A = I + B/2 − 1, donde I es el número de puntos enteros en el interior y B el número de puntos enteros en el borde.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El área de un polígono de red viene determinada combinatoriamente por el conteo de puntos de la red en el interior y en el borde; la geometría se reduce a contaje sobre la red para vértices de coordenadas enteras.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: triángulo con vértices en (0,0), (4,0) y (0,3). Su área es 6 por la fórmula del determinante. Los puntos del borde B son 8 (cinco en la base, cuatro en el lado vertical, dos en la hipotenusa con ajuste), por lo que Pick predice I = A − B/2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3 puntos enteros interiores, comprobable por conteo directo.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula a polígonos con vértices no enteros, a polígonos con agujeros o a polígonos autointersectantes; en esos casos el teorema de Pick no es aplicable o requiere modificación.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona un método combinatorio exacto y sencillo para calcular áreas de polígonos de red y para deducir el número de puntos interiores a partir de los datos de área y borde; fundamenta enfoques discretos y computacionales en geometría de redes planas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Dados A y B para un polígono de red, Pick determina I de forma única; sin embargo, la sola área no determina la estructura combinatoria del polígono. La fórmula es una igualdad exacta, no una afirmación sobre la forma más allá del conteo.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere un polígono simple (sin autointersecciones) cuyos vértices tengan coordenadas enteras en el plano; polígonos con agujeros, bordes curvos o vértices no enteros quedan fuera del alcance.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se relaciona a menudo con versiones discretas de teoremas continuos (por ejemplo análogos de Gauss‑Bonnet o de la característica de Euler); la tensión reside entre enunciados combinatorios y nociones de área continua, pero Pick es exacto en el contexto de la red.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema de Pick ofrece un puente exacto entre el conteo discreto de puntos de la red y el área continua para polígonos de red simples: el área es igual a los puntos interiores más la mitad de los puntos del borde menos uno, una fórmula compacta para la geometría planar en red.