##  [Recta de Simson](/es/node/62776) 

 Definición

Para un triángulo dado y un punto P sobre su circunferencia circunscrita, las proyecciones ortogonales (pies) de P sobre los tres lados del triángulo (o sus prolongaciones) yacen en una única recta; dicha recta común se llama la recta de Simson de P respecto del triángulo.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los puntos pedales de un punto situado en la circunferencia circunscrita de un triángulo son colineales: la proyección perpendicular de tal punto sobre los lados produce tres pies alineados.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Considere el triángulo ABC y un punto P en su circunferencia. Trace perpendiculares desde P a AB, BC y CA y llame D, E y F a los pies. La afirmación de la recta de Simson es que D, E y F están alineados. De forma concreta se puede construir el triángulo, dibujar su circunferencia circunscrita y comprobar mediante coordenadas o razonamiento sintético que los tres pies están sobre una misma recta.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la colinealidad cuando P no está en la circunferencia; para un punto genérico fuera o dentro del círculo circunscrito pero no sobre él, los tres pies no suelen ser colineales.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando procede, la recta de Simson proporciona un lugar lineal asociado a P útil para construcciones y para demostrar otras colinealidades y concurrencias en geometría del triángulo; su envolvente y sus intersecciones con centros triangulares llevan correspondencias clásicas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La recíproca se cumple: si los tres pies de las perpendiculares desde un punto P a los lados (prolongados) de ABC son colineales, entonces P pertenece a la circunferencia circunscrita de ABC; la propiedad caracteriza por tanto los puntos circunscritos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica únicamente a triángulos planos no degenerados y a puntos P situados en la circunferencia circunscrita; se admiten proyecciones sobre las prolongaciones de los lados, pero los casos degenerados requieren trato especial.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Puede confundirse con otras rectas nombradas en la geometría del triángulo (por ejemplo rectas pedales o de Steiner); la recta de Simson se distingue por la hipótesis central de que P está sobre la circunferencia circunscrita.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La recta de Simson es el lugar rectilíneo formado por los tres pies de las perpendiculares desde un punto situado en la circunferencia circunscrita de un triángulo; caracteriza tales puntos por la colinealidad de sus puntos pedales y es una herramienta compacta en geometría clásica.