##  [Teorema del Círculo de los Nueve Puntos](/es/node/62772) 

 Definición

Teorema que afirma que nueve puntos de un triángulo son concíclicos: los puntos medios de los tres lados, las bases de las tres alturas y los puntos medios de los segmentos desde el ortocentro a cada vértice. Este círculo se llama círculo de los nueve puntos; su centro N es el punto medio del segmento ortocentro–circuncentro y su radio es la mitad del radio circuncírculo.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Hecho organizador sobre la estructura del triángulo: ciertas construcciones naturales de puntos medios y pies de alturas yacen sobre un único círculo cuyo centro y radio están simplemente relacionados con centros clásicos (circuncentro y ortocentro), revelando simetría y relaciones de escala dentro del triángulo.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Dado el triángulo ABC con circuncentro O y ortocentro H, el punto medio de AH, el punto medio de BC y el pie de la altura desde A son tres de los nueve puntos; congruencias o argumentos de semejanza muestran que estos y los puntos correspondientes para B y C son concíclicos. Algebraicamente se demuestra que N = (H+O)/2 y radio = R/2 si R es el radio del circuncírculo.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que el círculo de los nueve puntos pasa por los vértices originales o confundirlo con el circuncírculo; o aplicar la construcción euclidiana de los nueve puntos en un plano no euclidiano sin adaptar las nociones de distancia y perpendicularidad.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona muchas igualdades y simplificaciones derivadas: puntos medios y pies son concíclicos, la localización de N facilita construcciones, y relaciones como radio = R/2 permiten transferir información del circuncírculo al círculo de los nueve puntos para deducciones métricas adicionales.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La recíproca —que puntos en el círculo de los nueve puntos deban ser necesariamente pies de alturas o puntos medios— no es automática sin verificar las relaciones del triángulo. Una estructura contrastante es el circuncírculo, que pasa por los vértices en lugar de por estos nueve puntos específicos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válido en geometría euclidiana plana para triángulos no degenerados; los triángulos degenerados (vértices colineales) invalidan la construcción perpendicular y la noción de radio circuncírculo. El teorema requiere las definiciones euclidianas estándar de punto medio y pie de altura.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre el círculo de los nueve puntos y el circuncírculo o la incírculo: cada círculo selecciona un conjunto canónico distinto de puntos (puntos medios/pies vs vértices vs puntos de contacto) y conduce a propiedades invariantes y usos diferentes.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema del círculo de los nueve puntos agrupa construcciones de puntos medios y pies de alturas en una sola locuación circular: nueve puntos canónicos y fáciles de construir son concíclicos, y el centro y radio del círculo son funciones lineales y de escala simples del circuncentro y su radio, produciendo consecuencias métricas y sintéticas compactas.