## [Alcance de Federer (Reach)](/es/node/62755) Definición Para un subconjunto cerrado A del espacio euclidiano, la reach (alcance) es el supremo r≥0 tal que todo punto a distancia menor que r de A tiene un único punto más cercano en A; equivalentemente, el radio del mayor vecindario tubular sobre el que la proyección al punto más cercano está bien definida y es unívoca. ## Principio Principio Cuantifica la regularidad extrínseca al descartar acercamientos próximos y curvaturas muy grandes: la reach controla curvatura, la distancia al eje medial y garantiza un vecindario tubular donde la proyección sobre el conjunto es Lipschitz (y lisa para conjuntos lisos). ## Demostración Demostración Para una curva o hypersuperficie incrustada y suave con curvatura acotada, la reach es al menos el inverso de la curvatura principal máxima; para una esfera de radio R incrustada en el espacio euclidiano la reach es R (la distancia al eje medial es el centro). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la cercanía en sentido de Hausdorff o la regularidad C^1 como sustituto de reach positiva — una curva C^1 puede tener reach arbitrariamente pequeña por acercamientos casi tangenciales — o confundir reach con radios intrínsecos de inyectividad o convexidad definidos de otra manera. ## Consecuencia Consecuencia Una reach positiva proporciona un vecindario tubular difeomorfo al fibrado normal, una proyección ortogonal bien definida, estabilidad frente a perturbaciones pequeñas y permite medidas de curvatura e inferencia geométrica; muchos resultados de reconstrucción geométrica requieren una cota inferior positiva de reach. ## Inversión Inversión El eje medial (conjunto de puntos con múltiples vecinos más cercanos) es el complemento dentro del vecindario tubular del dominio de unicidad; invertida la noción localiza dónde fallan las proyecciones o dónde se violan restricciones de curvatura. ## Límite Límite Concepto extrínseco euclidiano aplicable a subconjuntos del espacio euclidiano (o a variedades riemannianas vía inmersión isométrica); exige control global de la geometría de la inmersión y no se aplica directamente a variedades riemannianas abstractas sin referencia a un espacio ambiente euclidiano. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se compara con radios de inyectividad y convexidad para variedades embebidas: reach es extrínseca y trata la unicidad del punto más cercano, mientras que inyectividad y convexidad son nociones geodésicas intrínsecas; confundirlas produce errores en reconstrucción o análisis de vecindades. ## Síntesis Síntesis La reach es el mayor radio de un vecindario tubular alrededor de un subconjunto euclidiano en el cual la aplicación del punto más cercano es unívoca: una medida extrínseca de regularidad de la frontera que liga cotas de curvatura y evitación del eje medial con la existencia de proyecciones lisas.